Με ελεύθερη είσοδο λειτουργούν σήμερα, 18 Μαΐου, τα μουσεία σε όλη τη χώρα, στο πλαίσιο του εορτασμού της Διεθνούς Ημέρας Μουσείων.
Κάθε χρόνο, παράλληλα με το γενικότερο μήνυμα του εορτασμού, διερευνάται σ' όλες τις χώρες-μέλη του Διεθνούς Συμβουλίου Μουσείων (ICOM,) με ομιλίες και άλλες εκδηλώσεις, ένα ειδικό θέμα που συνδέεται με τα μουσεία και τον πολιτισμό. Θέμα του φετινού εορτασμού είναι «Τα μουσεία για την κοινωνική αρμονία».
Με την ευκαιρία του εορτασμού, το Ελληνικό Τμήμα του ICOM διοργανώνει τον μήνα Μάιο ποικίλες πολιτιστικές εκδηλώσεις σ' ολόκληρη την Ελλάδα.
Τρίτη 18 Μαΐου 2010
Σάββατο 8 Μαΐου 2010
Συμμετρία
Τι είδους συμμετρία χρησιμοποιεί ο Escher στον παρακάτω πίνακα;
Πηγαίνετε στο Μουσείο Ηρακλειδών να δείτε και άλλα έργα. Βρείτε έργα με μαθηματικούς μετασχηματισμούς.
Πηγαίνετε στο Μουσείο Ηρακλειδών να δείτε και άλλα έργα. Βρείτε έργα με μαθηματικούς μετασχηματισμούς.Το μουσείο Ηρακλειδών
Το Μουσείο Ηρακλειδών είναι ίσως το κομψότερο και καθαρότερο μουσείο που έχω συναντήσει ποτέ στην Αθήνα. Και δεν είναι μόνον αυτό. Έχει μια μάλλον ξεχωριστή αύρα, αρχιτεκτονική κυρίως, αλλά και μια απαστράπτουσα ζεστασιά στις αίθουσες με τα εκθέματα που σπάνια ένα μουσείο μπορεί να προσφέρει στον επισκέπτη. Αν βρείτε χρόνο, κάντε μια βόλτα. Πάρτε και το παιδί μαζί σας. Εξηγείστε του το τί σημαίνει να μπορούμε να πηγαίνουμε στα μουσεία, να μπορούμε να παρατηρούμε μέσα από την εικόνα ή το αντικείμενο το παρελθόν και να οραματιζόμαστε στο μέλλον, σαν μια αλυσίδα της οποίας όλοι οι κρίκοι είναι απαραίτητοι.
ΣΑΒΒΑΤΟ 15 ΜΑΙΟΥ 2010
Με αφορμή την έκθεση “ Η πλήρης συλλογή γλυπτών του Edgar Degas”, το Μουσείο Ηρακλειδών και το Κέντρο Μουσικής Σύνθεσης & Ερμηνείας συνδιοργανώνουν στο πλαίσιο της “νύχτας μουσείων”, το ρεσιτάλ πιάνου με τίτλο “Μάθημα Μπαλέτου” με την πιανίστα Μαρία Αλούπη. Το ρεσιτάλ πλαισιώνεται από performance χορού που επιμελείται η χορογράφος Μαριάννα Βασιλάτου.
Θα ακουστούν κατά την διάρκεια όλης της βραδιάς πολύ γνωστά και αγαπητά έργα από την πιανιστική εργογραφία της ρομαντικής μουσικής περιόδου τα οποία τυχαίνει να χρησιμοποιούνται πολύ συχνά και σε μαθήματα μπαλέτου.
Το πρόγραμμα περιλαμβάνει νυχτερινά του F. Chopin, “Kinderszenen” του R. Schumann, έργα των C. Debussy και E. Satie.
Την νύχτα των μουσείων η είσοδος θα είναι ελεύθερη για όσους θέλουν να επισκεφθούν την έκθεση και την συναυλία.
Ρίτσα Μασούρα
ΣΑΒΒΑΤΟ 15 ΜΑΙΟΥ 2010
Με αφορμή την έκθεση “ Η πλήρης συλλογή γλυπτών του Edgar Degas”, το Μουσείο Ηρακλειδών και το Κέντρο Μουσικής Σύνθεσης & Ερμηνείας συνδιοργανώνουν στο πλαίσιο της “νύχτας μουσείων”, το ρεσιτάλ πιάνου με τίτλο “Μάθημα Μπαλέτου” με την πιανίστα Μαρία Αλούπη. Το ρεσιτάλ πλαισιώνεται από performance χορού που επιμελείται η χορογράφος Μαριάννα Βασιλάτου.
Θα ακουστούν κατά την διάρκεια όλης της βραδιάς πολύ γνωστά και αγαπητά έργα από την πιανιστική εργογραφία της ρομαντικής μουσικής περιόδου τα οποία τυχαίνει να χρησιμοποιούνται πολύ συχνά και σε μαθήματα μπαλέτου.
Το πρόγραμμα περιλαμβάνει νυχτερινά του F. Chopin, “Kinderszenen” του R. Schumann, έργα των C. Debussy και E. Satie.
Την νύχτα των μουσείων η είσοδος θα είναι ελεύθερη για όσους θέλουν να επισκεφθούν την έκθεση και την συναυλία.
Ρίτσα Μασούρα
Νύχτα Μουσείων
Αποσκοπώντας στην προσέλκυση νέων ομάδων κοινού, μια φορά το χρόνο γιορτάζεται η «Νύχτα των Μουσείων».
Μια φορά το χρόνο, τα μουσεία που συμμετέχουν στον εορτασμό, παραμένουν ανοικτά με ελεύθερη είσοδο από τη δύση του ηλίου έως τη μία μετά τα μεσάνυχτα, ενώ παράλληλα διοργανώνουν εκδηλώσεις εορταστικού χαρακτήρα.
Ο φετινός εορτασμός, στις 15 Μαΐου 2010, συνδέεται με το “Παγκόσμιο Έτος Επαναπροσέγγισης Πολιτισμών” της UNESCO.
Η «Νύχτα των Μουσείων» θεσπίστηκε το 2005 από το Υπουργείο Πολιτισμού της Γαλλίας, το οποίο αποτελεί τον φορέα-συντονιστή του εορτασμού σε ευρωπαϊκό επίπεδο, και πραγματοποιείται υπό την αιγίδα του Συμβουλίου της Ευρώπης.
Μια φορά το χρόνο, τα μουσεία που συμμετέχουν στον εορτασμό, παραμένουν ανοικτά με ελεύθερη είσοδο από τη δύση του ηλίου έως τη μία μετά τα μεσάνυχτα, ενώ παράλληλα διοργανώνουν εκδηλώσεις εορταστικού χαρακτήρα.
Ο φετινός εορτασμός, στις 15 Μαΐου 2010, συνδέεται με το “Παγκόσμιο Έτος Επαναπροσέγγισης Πολιτισμών” της UNESCO.
Η «Νύχτα των Μουσείων» θεσπίστηκε το 2005 από το Υπουργείο Πολιτισμού της Γαλλίας, το οποίο αποτελεί τον φορέα-συντονιστή του εορτασμού σε ευρωπαϊκό επίπεδο, και πραγματοποιείται υπό την αιγίδα του Συμβουλίου της Ευρώπης.
Πέμπτη 6 Μαΐου 2010
Αρχιμήδης
Ο Αρχιμήδης (287 π.Χ.-212 π.Χ.) ήταν ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς μηχανικούς και φυσικούς του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μία από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυίες του κόσμου. Γεννήθηκε, έζησε και πέθανε στις Συρακούσες, την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας. Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας, που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών. Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους διαδόχους του Ευκλείδη, τους Ερατοσθένη και Δοσίθεο, ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του Σάμιου.
(Στην εικόνα ο «Αρχιμήδης» του Domenico Fetti, 1620)
Γκάους
Ο Γκάους ήταν αυτό που αποκαλείται «παιδί-θαύμα» και υπάρχουν αρκετές ιστορίες για τις εκπληκτικές του ικανότητες ως νηπίου, ενώ οι πρώτες μεγάλες μαθηματικές ανακαλύψεις του χρονολογούνται από την εφηβεία του. Σε ηλικία 21 ετών είχε ολοκληρώσει το κύριο έργο του στα καθαρά μαθηματικά, το Disquisitiones Arithmeticae, (= «Αριθμητικές Έρευνες», 1798, εκδόθηκε το 1801). Αυτό το έργο διαδραμάτισε θεμελιώδη ρόλο στην εδραίωση της θεωρίας αριθμών ως αυτοδύναμου κλάδου των μαθηματικών και τη σημάδεψε μέχρι τις μέρες μας.
Τετάρτη 5 Μαΐου 2010
Ερατοσθένης ο Κυρηναίος
Ο Ερατοσθένης (Κυρήνη 276 π.Χ. - Αλεξάνδρεια 194 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός,γεωγράφος και αστρονόμος.
Θεωρείται ο πρώτος που υπολόγισε το μέγεθος της Γης και κατασκεύασε ένα σύστημα συντεταγμένων με παράλληλους και μεσημβρινούς. Ακόμα κατασκεύασε ένα χάρτη του κόσμου όπως τον θεωρούσε.
Σπούδασε στην Αλεξάνδρεια και ισχυρίζονταν ότι επίσης σπούδασε κάποια χρόνια στην Αθήνα. Δεν παντρεύτηκε ποτέ. Το 194 π.Χ. τυφλώθηκε και ένα χρόνο αργότερα σταμάτησε να τρώει και πέθανε. Έκανε συνεισφορές στα Μαθηματικά και ήταν φίλος του σπουδεότερου μαθηματικού του Αρχιμήδη.
Τρίτη 4 Μαΐου 2010
Ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός
Μέχρι τον Μάιο του 2009, ο μεγαλύτερος γνωστός αριθμός είναι ο:
- 243.112.609 − 1.
Η ανακάλυψη του έγινε στις 23 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ 2008, μέσω του διαδικτυακού προγράμματος κατανεμημένης επεξεργασίας GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Ο αριθμός αυτός έχει 12.978.189 ψηφία (ο πρώτος πρώτος με πάνω από 10 εκατομμύρια ψηφία) και έχει την πρόσθετη ιδιότητα να είναι ο 45ος Μερσέν πρώτος (Mersenne prime) που ανακαλύφθηκε. Ο 46ος Μερσέν πρώτος, ο 237.156.667 − 1, ανακαλύφθηκε δύο βδομάδες αργότερα.
Θαλής ο Μιλήσιος
[Η ΖΩΗ ΤΟΥ] Ο Θαλής γεννήθηκε το 624 π.Χ. στη Μίλητο και υπήρξε ιδρυτής της Iωνικής σχολής (σχολή της Μιλήτου). Ο Θαλής αγαπούσε τα ταξίδια και ταξίδεψε πολύ. Λένε πως κάποτε υπολόγισε το ύψος μίας πυραμίδας στην Αίγυπτο μετρώντας τον ίσκιο της τη στιγμή ακριβώς που ο δικός του ίσκιος ήταν ίσος με το πραγματικό του ύψος. Οι σοφοί του 6ου αιώνα (λ.χ. ο Σόλων) ήταν καθιερωμένο να ταξιδεύουν στην Αίγυπτο και να μελετούν τον τρόπο ζωής και τις επιστήμες (γεωμετρία) των Αιγυπτίων. Ο Θαλής ήταν ένας απ' τους επτά σοφούς της αρχαιότητας και θεωρείται πατέρας της Ελληνικής φιλοσοφίας διότι πρώτος έθεσε το πρόβλημα μίας γενικής αρχής όλων των πραγμάτων. Ο Θαλής πέθανε σε προχωρημένη ηλικία παρακολουθώντας αθλητικούς αγώνες εξαιτίας της ζέστης, της δίψας και της εξάντλησης. Στον τάφο του χαράκτηκε το εξής επίγραμμα : Αυτός ο μικρός τάφος, είναι του Θαλή του εξαίρετου, που η δόξα έφτανε ως τα ουράνια. (1)
[ΤΟ ΝΕΡΟ ΩΣ ΠΡΩΤΗ ΑΙΤΙΑ ΤΩΝ ΟΝΤΩΝ]
Ο Θαλής ήταν ο πρώτος Έλληνας φιλόσοφος που αναζήτησε την πρώτη αρχή των όντων και των κοσμικών φαινομένων. Ως πρώτη αιτία όρισε το νερό. Η ζωτική δύναμη του νερού και η τεράστια σημασία του στη φύση ήταν η αιτία που έκανε τον Θαλή να το ορίσει ως πρωταρχικό στοιχείο. Στην Ορφική μυθολογία βρίσκουμαι το "Υδωρ" και την "Υλη" σαν τα πρωταρχικά στοιχεία δημιουργείας της πρωτούλης του σύμπαντος. Η "Υλη" δεν ορίζεται με την σημερινή επιστημονική έννοια, αλλα αποτελεί μια μορφή κοσμικής ύλης. Το νερό, ο αέρας είτε άλλο στοιχείο είναι κατά τους Προσωκρατικούς φιλοσόφους συνυφασμένο με την ζωή, την ψυχή και τη δύναμη της φύσεως που κινεί τα πάντα (φύεσθαι).
[Η ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ]
Ο Θαλής, εκτός από φιλόσοφος, υπήρξε μεγάλος αστρονόμος και μαθηματικός .Ο Ηράκλειτος γράφει : "Θαλής πρώτος αστρολογήσαι". Ο Ηρόδοτος αναφέρει πώς ο Θαλής συνόδευσε τον Κροίσο σε εκστρατεία του και με κατάλληλη διοχέτευση των νερών του ποταμού Αλύ διευκόλυνε τα στρατεύματά του στη διάβαση τους. Ο Θαλής προείπε την έκλειψη ηλίου το 585 π.Χ., και έγραψε επικούς στίχους για τα ουράνια σώματα.
Ο Διογένης Λαέρτιος γράφει για τον Θαλή στο 1o Βιβλίο του : "Κάποιοι λένε ότι πρώτος αυτός είπε πως οι ψυχές είναι αθάνατες. Ένας απ' αυτούς είναι ο ποιητής Χοιρίλος. Πρώτος βρήκε την πορεία του ήλιου από ηλιοστάσιο σε ηλιοστάσιο και διατύπωσε την άποψη πως το μέγεθος του ήλιου και της σελήνης είναι ίσο με τον ένα επτακοσιοστό της τροχιάς του. Πρώτος ονόμασε την τελευταία μέρα του μήνα τριακοστή και πρώτος, όπως λένε μερικοί, ασχολήθηκε με τη φύση. … Ως πολιτικός επίσης υπήρξε διαπρεπής. Όταν ο Κροίσος έστειλε πρέσβεις στους Μιλήσιους για να ζητήσει συμμαχία, ο Θαλής τους εμπόδισε. Πράγμα το οποίο μετά την επικράτηση του Κοίρου αποδείχτηκε σωτήριο για την πόλη…Πρωταρχική αιτία όλων θεωρούσε το νερό και για τη φύση έλεγε πως είναι έμψυχη και γεμάτη θεότητες. Λένε πως αυτός βρήκε τις εποχές του χρόνου και τον διαίρεσε σε τριακόσιες εξήντα πέντε μέρες". (1)
Ο Πλάτων στον Θεαίτητο (174 α) περιγράφει την παρακάτω ιστορία για τον Θαλή " … όπως ακριβώς, Θεόδωρε λέγεται ότι μία πνευματώδης και νόστιμη θρακιώτισσα υπηρέτρια πείραξε τον Θαλή, που καθώς παρατηρούσε τ' άστρα και χάζευε προς τα πάνω έπεσε σ' ένα πηγάδι, του είπε δηλαδή ότι τον έτρωγε η επιθυμία να μάθει τι βρίσκεται στον ουρανό, αλλά του ξέφυγε ό,τι βρισκόταν πίσω του και πλάι στα πόδια του." (2)
Ως μαθηματικός ο Θαλής είναι γνωστός στη στοιχειώδη γεωμετρία από το ομώνυμο θεώρημα για τα τμήματα που αποτέμνονται από παράλληλες ευθείες του επιπέδου πάνω σε δύο άλλες ευθείες του και το ανάλογο του στη γεωμετρία του χώρου. Το θεώρημα της γεωμετρίας πως οι γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους οφείλεται επίσης σ' αυτόν. (3)
[ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ]
Ο Θαλής δεν πρέπει να άφησε κανένα έργο παρά μόνο ένα με τίτλο "Ναυτική αστρολογία" που σύμφωνα με το Διογένη Λαέρτιο είναι έργο του Φώκου του Σάμιου. Πολλά κομμάτια από την φιλοσοφία του διέσωσαν οι μαθητές του και οι μετέπειτα φιλόσοφοι όπως ο Αριστοτέλης (Περί Ψυχής). Σημαντικά στοιχεία για την φιλοσοφία του Θαλή βρίσκουμε στο έργο του Διογένη Λαέρτιου "Βίοι Φιλοσόφων" (Βιβλίο 1ο).
ΚΕΙΜΕΝΑ
Διογένης Λαέρτιος, "Βίοι Φιλοσόφων", Βιβλίο Ι (1)
(1) Το παλαιότερο από τα όντα είναι ο Θεός, διότι είναι αγέννητος.
(2) Το ωραιότερο δημιούργημα είναι ο κόσμος, διότι είναι έργο Θεού
(3) Το μεγαλύτερο ο χώρος, διότι χωράει τα πάντα
(4) το γρηγορότερο ο νους, διότι τρέχει παντού.
(5) Το ισχυρότερο η ανάγκη, διότι κυριαρχεί σε όλα.
(6) Το σοφότερο ο χρόνος, διότι ανακαλύπτει τα πάντα.
(7) Ό,τι προσφέρεις στους γονείς σου, τα ίδια περίμενε να πάρεις από τα παιδιά σου.
(8) Ο Θάνατος δεν διαφέρει σε τίποτα από τη ζωή.
(9) Γνώθι σ' αυτόν.
(10) Σ' αυτόν που τον ρώτησε τι δημιουργήθηκε πιο μπροστά η μέρα ή η νύχτα, είπε: "Η νύχτα μία μέρα νωρίτερα".
(11) Σ' αυτόν που τον ρώτησε ποιος είναι πιο ευτυχισμένος είπε "Αυτός που έχει σώμα υγιές, εφευρετικό μυαλό και έμφυτη ικανότητα να δεχτεί τη μόρφωση".
(12) Σ' αυτόν που τον ρώτησε τι είναι εύκολο είπε: "Το να δίνεις συμβουλές στους άλλους".
Αριστοτέλης, "Μετά τα Φυσικά" (2)
" Ο Θαλής διατύπωσε την άποψη ότι η γη στηρίζεται πάνω σε νερό και ότι όλα είναι νερό."
Αριστοτέλης, "Περί Ψυχής" (2)
"Φαίνεται ότι ο Θαλής, απ' όσα θυμούνται μερικοί, θεωρούσε ότι η ψυχή έχει μέσα της δύναμη κινητική, για το λόγο ότι κινεί τον σίδηρο."
Αριστοτέλης, "Περί Ψυχής" (2)
" Και μερικοί λένε ότι (η ψυχή) είναι αναμεμειγμένη με το σύμπαν, γι' αυτό ίσως και ο Θαλής πίστευε ότι ο κόσμος είναι γεμάτος Θεούς"
Καλλίμαχος, Ίαμβος Ι (2)
… γιατί η νίκη ήταν του Θαλή,
που το μυαλό του έκοβε πολύ
και λένε πως τ' αστεράκια μέτρησε της ʼμαξας, (μικρή ʼρτος)
που τους Φοίνικες βοηθάει ν' αρμενίζουν (αποσ. 191)
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
(1) Διογένης Λαέρτιος, Βίοι Φιλοσόφων
ʼπαντα,Βιβλίο Ι, Θαλής (σελ 39 - σελ 59)
Μετάφραση : Μεταφραστική Ομάδα Κάκτου
Εκδόσεις Κάκτος (Αθήνα 1994)
(2) G.S. KIRK - J.E. RAVEN - M. SCHOFIELD, Οι Προσωκρατικοί Φιλόσοφοι,
Θαλής (σελ 89 - 109)
Μετάφραση: Δημοσθένης Κούρτοβικ
Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης (Αθήνα 1990)
(3) Εγκυκλοπαίδεια Δομή,
Τόμος 6 Θαλής ο Μιλήσιος (σελ 389)
Εκδόσεις "ΔΟΜΗ" Ελλάς
Δευτέρα 3 Μαΐου 2010
Ευκλείδης
Το όνομα του Ευκλείδη είναι συνώνυμο με την γεωμετρία. Τα «στοιχεία» είναι ένα από τα πιο σημαντικά έργα στην ιστορία των μαθηματικών. Έχουν χρησιμοποιηθεί σαν βάση για την γεωμετρική εκπαίδευση όλης της Δύσης για τα τελευταία 2000 χρόνια.Δεν υπάρχουν πολλές αναφορές στη ζωή του Ευκλείδη. Δεν ξέρουμε τις ακριβείς ημερομηνίες γέννησης και θανάτου του. Γεννήθηκε περίπου το 325 π.Χ. και πέθανε το 265 π.Χ.
Αν και υπάρχουν αμφιβολίες λέγεται ότι μαθήτευσε στην ακαδημία του Πλάτωνα και έμεινε εκεί μέχρις ότου ο Πτολεμαίος τον προσκάλεσε να διδάξει στο νέο του πανεπιστήμιο στην Αλεξάνδρεια. Εκεί ο Ευκλείδης ίδρυσε τη μαθηματική σχολή του και έμεινε μέχρι το τέλος της ζωής του.
Οι μέθοδοι διδασκαλίας του είχαν εμπνευστεί από αυτές του Αρχιμήδη. Είχε τη φήμη ότι ήταν δίκαιος, υπομονετικός, έντιμος και ευγενικός. Παρόλα αυτά ήταν και σαρκαστικός:
Μια ιστορία λέει ότι ένας από τους σπουδαστές του παραπονέθηκε ότι δεν είχε κανένα κέρδος από τα μαθηματικά που μάθαινε. Τότε ο Ευκλείδης κάλεσε γρήγορα στο σκλάβο του για να δώσει στο αγόρι ένα νόμισμα επειδή "έπρεπε να κερδίσει από αυτά που μαθαίνει."
Μια άλλη ιστορία λέει ότι ο Πτολεμαίος τον ρώτησε εάν υπάρχει κάποιος ευκολότερος τρόπος να μάθει γεωμετρία απ' ό,τι με την εκμάθηση όλων των θεωρημάτων. Ο Ευκλείδης απάντησε ότι «δεν υπάρχει βασιλικός δρόμος στη γεωμετρία» και έστειλε το βασιλιά στη μελέτη.
Έργα του εκτός από τα στοιχεία
Άλλα έργα του εκτός από τα στοιχεία είναι τα «δεδομένα», τα «τμήματα των αριθμών», τα «φαινόμενα» και τα «οπτικά». Όλα είναι στα αρχαία Ελληνικά εκτός από τα «τμήματα των αριθμών» που έχουν διατηρηθεί μόνο μέρη τους στα Αραβικά. Όλα έχουν την βασική δομή των «στοιχείων» με ορισμούς και αυστηρά αποδεδειγμένες προτάσεις.
Τα «δεδομένα» είναι άμεσα συσχετιζόμενα με τα πρώτα τέσσερα βιβλία από τα στοιχεία καθώς αφορούν ορισμούς, αξιώματα. Τα «τμήματα των αριθμών» αποτελούνται από 36 προτάσεις – υποδείξεις για τον διαχωρισμό διάφορων σχημάτων σε ένα ή δύο ίσα μέρη ή με συγκεκριμένες αναλογίες. Τα φαινόμενα έχουν να κάνουν με τα σφαιρικά σχήματα και έχουν σα σκοπό να εξηγήσουν τις κινήσεις των πλανητών. Τα «οπτικά» είναι το πιο πρόσφατο διασωθείς. Στους ορισμούς του ακολουθεί την Πλατωνική παράδοση που λέει ότι η όραση προέρχεται από ιδιαίτερες ακτίνες που προέρχονται από το μάτι. Σχετίζει το μέγεθος των αντικειμένων με την απόσταση και την γωνία θέασης.
Τα στοιχεία
Στα δεκατρία βιβλία των «Στοιχείων» ο Ευκλείδης παρουσιάζει όλη την στοιχειώδη Ελληνική γεωμετρική γνώση. Περιλαμβάνει θεωρήματα και σύνταξη της επίπεδης και στερεάς γεωμετρίας, μαζί με την θεωρία των αναλογιών, συμμετριών, αριθμών και έναν τύπο γεωμετρικής άλγεβρας. Δεν ήταν ο μόνος που έγραψε στοιχεία γεωμετρίας. Υπήρχαν και άλλοι πριν από αυτόν όπως ο Ιπποκράτης από τη Χίο και άλλοι. Ωστόσο τα έργα του Ευκλείδη αναγνωρίστηκαν γρήγορα ως ανώτερα. Δεν είναι γνωστό κατά πόσο όλα τα θεωρήματα ήταν δικά του. Υπάρχουν επιρροές από τον Θαλή, τον Ιπποκράτη και τον Πυθαγόρα. Παρόλα αυτά η διαμόρφωση των στοιχείων είναι αποκλειστικά δική του.
Κάθε τόμος απαριθμεί διάφορους ορισμούς και αξιώματα που ακολουθούνται από τα θεωρήματα, τα οποία ακολουθούνται από τις αποδείξεις. Κάθε δήλωση αποδείχθηκε, ανεξάρτητα αν είναι προφανής. Ο Ευκλείδης επέλεξε τα αξιώματά του προσεκτικά, επιλέγοντας μόνο τις πιο βασικές και αυτονόητες προτάσεις ως βάση της εργασίας του.
Πριν, οι άλλες σχολές είχαν ένα διαφορετικό σύνολο αξιωμάτων η κάθε μία. Μερικά από τα οποία ήταν πολύ αμφισβητήσιμα. Το έργο αυτό βοήθησε πολύ στο να τυποποιήσει τα ελληνικά μαθηματικά. Όσον αφορά στο περιεχόμενο, κάλυψε την κλίμακα της αρχαίας σκέψης.
Τα θέματα περιλαμβάνουν: το πυθαγορικό θεώρημα, αλγεβρικές ταυτότητες, κύκλοι, εφαπτομένες, επίπεδη γεωμετρία, η θεωρία των αναλογιών, πρωταρχικοί αριθμοί, τέλειοι αριθμοί, ιδιότητες των θετικών ακέραιων αριθμών, των άρρητων αριθμών, των τρισδιάστατων αριθμών, των εγγραμμένων και περιγραμένων αριθμών, της κατασκευής των κανονικών στερεών κ.α.
Ειδικά τα αξιοσημείωτα θέματα περιλαμβάνουν τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, που χρησιμοποιήθηκαν από τον Αρχιμήδη στην εφεύρεση του ακέραιου υπολογισμού, και της απόδειξης ότι το σύνολο όλων των πρωταρχικών αριθμών είναι άπειρο.
"Τα στοιχεία" μεταφράστηκαν και σε λατινικά και σε Αραβικά και αυτή είναι η πρώτη εργασία για να επιζήσουν, από τις καταστροφές που έγιναν αργότερα, όπως η καταστροφή της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας. Επειδή ήταν μακράν ανώτερο από οτιδήποτε προηγούμενο. Το πρώτο τυπωμένο αντίγραφο βγήκε το 1482 και ήταν το εγχειρίδιο γεωμετρίας τα λογικά θεμέλια από το 1700. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου ο Ευκλείδης ιδιαίτερα σεβαστός και τα «στοιχεία» θεωρήθηκαν μια από τις καλύτερες μαθηματικές εργασίες όλων των χρόνων.
Στα στοιχεία, υπάρχουν ελλιπείς περιοχές που συμπλήρωσαν οι επόμενοι μαθηματικοί. Επιπλέον έχουν βρεθεί κάποιες αμφισβητήσιμες ιδέες. Οι πιο γνωστή είναι αυτά στο πέμπτο αξίωμα του, επίσης γνωστό ως παράλληλο αξίωμα. Η πρόταση δηλώνει ότι για μια ευθεία γραμμή και ένα σημείο έξω από τη γραμμή, υπάρχει μόνο μια γραμμή που περνά μέσω του σημείου παράλληλη στην αρχική γραμμή. Ο Ευκλείδης δεν μπόρεσε να αποδείξει αυτήν την δήλωση και επειδή το χρειαζόταν για τις περαιτέρω αποδείξεις του, το υπέθεσε σαν αληθινό. Οι μελλοντικοί μαθηματικοί δεν μπορούσαν να δεχτούν ότι μια τέτοια δήλωση δεν έχει αποδειχθεί και ξόδεψαν πολλά χρόνια ψάχνοντας την απόδειξη η οποία όμως δεν έχει βρεθεί μέχρι σήμερα.
Εντούτοις, παρά αυτά τα προβλήματα, ο Ευκλείδης κρατά τη διάκριση ως ένα από τα πρώτα πρόσωπα που προσπάθησαν να τυποποιήσουν τα μαθηματικά και τα καθορίσουν επάνω σε ένα ίδρυμα των αποδείξεων. Η εργασία του ενέργησε ως αφετηρία για τις μελλοντικές γενεές
Νέπερ
John Napier (1550-1617), Σκωτσέζος μαθηματικός, φυσικός και αστρονόμος. Εφηύρε τους λογαρίθμους και χρησιμοποίησε την υποδιαστολή για τους δεκαδικούς αριθμούς.
Πλάτων
Ο Πλάτων (427 π.Χ. - 347 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος από την Αθήνα, ο πιο γνωστός μαθητής του Σωκράτη και δάσκαλος του Αριστοτέλη. Το έργο του με τη μορφή φιλοσοφικών διαλόγων έχει σωθεί ολόκληρο (του αποδίδονται ακόμα και μερικά νόθα έργα) και άσκησε τεράστια επιρροή στην αρχαία ελληνική φιλοσοφία και γενικότερα στη δυτική φιλοσοφική παράδοση μέχρι τις ημέρες μας. Ο Πλάτων, μεταξύ άλλων, έγραψε την Απολογία του Σωκράτους, η οποία θεωρείται ως μια σχετικά ακριβής καταγραφή της απολογίας του Σωκράτη στη δίκη που τον καταδίκασε σε θάνατο, το Συμπόσιο όπου μιλά για την φύση του έρωτα, ενώ σε δύο μακρούς διαλόγους, την Πολιτεία και τους Νόμους, περιέγραψε την ιδανική πολιτεία
Ερατοσθένης ο Κυρηναίος
Ο Ερατοσθένης (Κυρήνη 276 π.Χ. – Αλεξάνδρεια 194 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, γεωγράφος και αστρονόμος. Θεωρείται ο πρώτος που υπολόγισε το μέγεθος της Γης και κατασκεύασε ένα σύστημα συντεταγμένων με παράλληλους και μεσημβρινούς. Ακόμα κατασκεύασε ένα χάρτη του κόσμου όπως τον θεωρούσε.
Βιογραφία
Αν και ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνη (στη σημερινή Λιβύη), έζησε, εργάστηκε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια, πρωτεύουσα της πτολεμαϊκής Αιγύπτου.
Σπούδασε στην Αλεξάνδρεια και ισχυριζόταν ότι επίσης σπούδασε για κάποια χρόνια στην Αθήνα. Το 236 π.Χ. ορίστηκε από τον Πτολεμαίο τον Γ΄ τον Ευεργέτη βιβλιοθηκάριος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, διαδεχόμενος τον Ζηνόδοτο.
Δεν παντρεύτηκε ποτέ. Το 194 π.Χ. τυφλώθηκε και ένα χρόνο αργότερα σταμάτησε να τρώει και πέθανε.
Το έργο του
Έκανε αρκετές σημαντικές συνεισφορές στα Μαθηματικά και ήταν φίλος του σπουδαίου μαθηματικού Αρχιμήδη. Γύρω στο 225 π.Χ. εφηύρε τον σφαιρικό αστρολάβο, που τον χρησιμοποιούσαν ευρέως μέχρι την εφεύρεση του πλανηταρίου τον 18ο αιώνα.
Αναφέρεται από τον Κλεομήδη στο Περί της κυκλικής κινήσεως των ουρανίων σωμάτων ότι γύρω στο 240 π.Χ. υπολόγισε την περιφέρεια της Γης χρησιμοποιώντας το ύψος του Ηλίου κατά την εαρινή ισημερία σε δύο διαφορετικά γεωγραφικά σημεία, που όμως βρίσκονταν στον ίδιο (περίπου) μεσημβρινό: κοντά στην Αλεξάνδρεια και στη νήσο Ελεφαντίνη -όπου ο Ήλιος ήταν στο ζενίθ του ουρανού- κοντά στη Συήνη (σημερινό Ασουάν, Αίγυπτος).
Ο Ερατοσθένης υπολόγισε την περιφέρεια της Γης σε 252.000 στάδια. Δεν ξέρουμε όμως την ακρίβεια της μέτρησης, καθώς δεν ξέρουμε ποιο είδος σταδίου χρησιμοποίησε. Αν χρησιμοποίησε το αττικό στάδιο (184,98 μέτρα) τότε υπολόγισε την περιφέρεια σε 46.615 χιλιόμετρα. Αν χρησιμοποίησε το οδοιπορικό στάδιο (157,50 μέτρα) τότε την υπολόγισε σε 39.690 χιλιόμετρα που είναι αρκετά καλός υπολογισμός, με δεδομένο ότι σήμερα υπολογίζεται σε 40.007,86 χιλιόμετρα, ενώ στη Γαλλική Επανάσταση είχε οριστεί να είναι 40.000 χιλιόμετρα.
Επινόησε επίσης το σύστημα των γεωγραφικών παραλλήλων. Διατύπωσε δε την υπόθεση, ότι είναι δυνατόν να ταξιδέψουμε κατά μήκος μιας γεωγραφικής παράλληλου ξεκινώντας από την Ιβηρία και να φτάσουμε έως την Ινδία, διαπλέοντας τον Ατλαντικό ωκεανό. Ο Στράβων που διέσωσε και μας μετέφερε την θεωρία αυτή, προσέθεσε μάλιστα, ότι στο ταξίδι αυτό ίσως να συναντούσαμε νέα άγνωστα μέρη ξηράς.[1]
Επίσης εφηύρε έναν τρόπο υπολογισμού των πρώτων αριθμών γνωστό ως το κόσκινο του Ερατοσθένη.Ο όρος Γεωγραφία αποδίδεται στον Ερατοσθένη.
Βιογραφία
Αν και ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνη (στη σημερινή Λιβύη), έζησε, εργάστηκε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια, πρωτεύουσα της πτολεμαϊκής Αιγύπτου.
Σπούδασε στην Αλεξάνδρεια και ισχυριζόταν ότι επίσης σπούδασε για κάποια χρόνια στην Αθήνα. Το 236 π.Χ. ορίστηκε από τον Πτολεμαίο τον Γ΄ τον Ευεργέτη βιβλιοθηκάριος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, διαδεχόμενος τον Ζηνόδοτο.
Δεν παντρεύτηκε ποτέ. Το 194 π.Χ. τυφλώθηκε και ένα χρόνο αργότερα σταμάτησε να τρώει και πέθανε.
Το έργο του
Έκανε αρκετές σημαντικές συνεισφορές στα Μαθηματικά και ήταν φίλος του σπουδαίου μαθηματικού Αρχιμήδη. Γύρω στο 225 π.Χ. εφηύρε τον σφαιρικό αστρολάβο, που τον χρησιμοποιούσαν ευρέως μέχρι την εφεύρεση του πλανηταρίου τον 18ο αιώνα.
Αναφέρεται από τον Κλεομήδη στο Περί της κυκλικής κινήσεως των ουρανίων σωμάτων ότι γύρω στο 240 π.Χ. υπολόγισε την περιφέρεια της Γης χρησιμοποιώντας το ύψος του Ηλίου κατά την εαρινή ισημερία σε δύο διαφορετικά γεωγραφικά σημεία, που όμως βρίσκονταν στον ίδιο (περίπου) μεσημβρινό: κοντά στην Αλεξάνδρεια και στη νήσο Ελεφαντίνη -όπου ο Ήλιος ήταν στο ζενίθ του ουρανού- κοντά στη Συήνη (σημερινό Ασουάν, Αίγυπτος).
Ο Ερατοσθένης υπολόγισε την περιφέρεια της Γης σε 252.000 στάδια. Δεν ξέρουμε όμως την ακρίβεια της μέτρησης, καθώς δεν ξέρουμε ποιο είδος σταδίου χρησιμοποίησε. Αν χρησιμοποίησε το αττικό στάδιο (184,98 μέτρα) τότε υπολόγισε την περιφέρεια σε 46.615 χιλιόμετρα. Αν χρησιμοποίησε το οδοιπορικό στάδιο (157,50 μέτρα) τότε την υπολόγισε σε 39.690 χιλιόμετρα που είναι αρκετά καλός υπολογισμός, με δεδομένο ότι σήμερα υπολογίζεται σε 40.007,86 χιλιόμετρα, ενώ στη Γαλλική Επανάσταση είχε οριστεί να είναι 40.000 χιλιόμετρα.
Επινόησε επίσης το σύστημα των γεωγραφικών παραλλήλων. Διατύπωσε δε την υπόθεση, ότι είναι δυνατόν να ταξιδέψουμε κατά μήκος μιας γεωγραφικής παράλληλου ξεκινώντας από την Ιβηρία και να φτάσουμε έως την Ινδία, διαπλέοντας τον Ατλαντικό ωκεανό. Ο Στράβων που διέσωσε και μας μετέφερε την θεωρία αυτή, προσέθεσε μάλιστα, ότι στο ταξίδι αυτό ίσως να συναντούσαμε νέα άγνωστα μέρη ξηράς.[1]
Επίσης εφηύρε έναν τρόπο υπολογισμού των πρώτων αριθμών γνωστό ως το κόσκινο του Ερατοσθένη.Ο όρος Γεωγραφία αποδίδεται στον Ερατοσθένη.
Απολλώνιος ο Περγαίος (265-170 π.Χ.)
Έζησε, κατά πάσα πιθανότητα, στο διάστημα (265-170 π.Χ.)
* Μεγάλος μελετητής της γεωμετρίας έζησε, σπούδασε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια. Καθηγητής του Μουσείου της πόλης του, θεωρείται σαν ο τρίτος μεγαλύτερος μαθηματικός μετά τον Αρχιμήδη και τον Ευκλείδη.
* Ο Απολλώνιος αν και κορυφαίος μελετητής του Μουσείου, αναφέρεται ως ματαιόδοξος και υπερόπτης. Από το πλήθος των έργων του ελάχιστα σεβάστηκε ο χρόνος με κορυφαίο από αυτά τα "Κωνικά" του. Ενδεικτικός είναι ο κατάλογος των έργων του, που μνημονεύτηκαν.
Έργο ζωής από αυτά αποτέλεσε για τον Απολλώνιο το με τίτλο "Κωνικά". Αυτό είναι το μόνο το οποίο σώθηκε από τα αντίστοιχα προγενέστερα έργα των Μεναίχμου, Αρισταίου (5 βιβλία), Ευκλείδη (4 βιβλία) και Αρχιμήδη. Από τα 8 βιβλία του έργου σώθηκαν τα 7, τα οποία περιέχουν 21 ορισμούς, 373 θεωρήματα, 10 πορίσματα και 14 προβλήματα. Ειδικά το 5ο βιβλίο των κωνικών, μαζί με το 5ο των Στοιχείων και το "Περί Ελίκων" του Αρχιμήδη θεωρούνται ως τα κορυφαία αριστουργήματα της Ελληνικής γεωμετρίας.
Το Δήλιο πρόβλημα αποτέλεσε αντικείμενο μελέτης του, το οποίο και το έλυσε με τη βοήθεια της τομής ενός κύκλου και μιας υπερβολής.
Στην Αστρονομία ο σοφός μας υπήρξε ο εισηγητής του γεωκεντρικού συστήματος των "έκκεντρων κύκλων και επικύκλων", για την ερμηνεία των κινήσεων του ουρανού κατά τρόπο σύμφωνο προς τις παρατηρήσεις.
* Μεγάλος μελετητής της γεωμετρίας έζησε, σπούδασε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια. Καθηγητής του Μουσείου της πόλης του, θεωρείται σαν ο τρίτος μεγαλύτερος μαθηματικός μετά τον Αρχιμήδη και τον Ευκλείδη.
* Ο Απολλώνιος αν και κορυφαίος μελετητής του Μουσείου, αναφέρεται ως ματαιόδοξος και υπερόπτης. Από το πλήθος των έργων του ελάχιστα σεβάστηκε ο χρόνος με κορυφαίο από αυτά τα "Κωνικά" του. Ενδεικτικός είναι ο κατάλογος των έργων του, που μνημονεύτηκαν.
Έργο ζωής από αυτά αποτέλεσε για τον Απολλώνιο το με τίτλο "Κωνικά". Αυτό είναι το μόνο το οποίο σώθηκε από τα αντίστοιχα προγενέστερα έργα των Μεναίχμου, Αρισταίου (5 βιβλία), Ευκλείδη (4 βιβλία) και Αρχιμήδη. Από τα 8 βιβλία του έργου σώθηκαν τα 7, τα οποία περιέχουν 21 ορισμούς, 373 θεωρήματα, 10 πορίσματα και 14 προβλήματα. Ειδικά το 5ο βιβλίο των κωνικών, μαζί με το 5ο των Στοιχείων και το "Περί Ελίκων" του Αρχιμήδη θεωρούνται ως τα κορυφαία αριστουργήματα της Ελληνικής γεωμετρίας.
Το Δήλιο πρόβλημα αποτέλεσε αντικείμενο μελέτης του, το οποίο και το έλυσε με τη βοήθεια της τομής ενός κύκλου και μιας υπερβολής.
Στην Αστρονομία ο σοφός μας υπήρξε ο εισηγητής του γεωκεντρικού συστήματος των "έκκεντρων κύκλων και επικύκλων", για την ερμηνεία των κινήσεων του ουρανού κατά τρόπο σύμφωνο προς τις παρατηρήσεις.
Βιέτ Φρανσουά (1540-1603)
Γάλλος μαθηματικός, ο κορυφαίος αλγεβριστής της εποχής του. Αν και οι κύριες σπουδές του ήταν νομικές, όταν καταπιάστηκε με τα μαθηματικά θαυματούργησε. Το πρώτο του κατόρθωμα ήταν η αποκρυπτογράφηση του βασισμένου σε ένα περίπλοκο σύστημα αριθμών και γραμμάτων ισπανικού κώδικα αλληλογραφίας, γεγονός που βοήθησε σημαντικά τη Γαλλία και τον Ερρίκο Δστον πόλεμο με την Ισπανία. Το επιστημονικό σύγγραμμα του Βιέτ «Εισαγωγή στην αναλυτική τέχνη» είναι από τα πρώτα άρτια μνημεία του αλγεβρικού λογισμού. Ο Βιέτ υπήρξε ο πρώτος μαθηματικός που χρησιμοποίησε σε ευρεία κλίμακα τα γράμματα για να εκφράσει αριθμητικές ποσότητες. Το 1593 ο Βιέτ κατάφερε να εκφράσει τον αριθμό π με τη βοήθεια ενός απειρογινόμενου και τον υπολόγισε με ακρίβεια εννέα δεκαδικών ψηφίων, βελτιώνοντας έτσι το σχετικό αποτέλεσμα του Αρχιμήδη. Συμπερασματικά ο Βιέτ υπήρξε ο πρώτος που υποκατέστησε στις μαθηματικές του αποδείξεις τις γεωμετρικές κατασκευές με αλγεβρικές διαδικασίες.
Γεωμετρία
Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που ζούμε. Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι χαρακτηρίζουν τον χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών ιδιοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα. Τα αξιώματα δε μπορούν να αποδειχτούν, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με μαθηματικούς ορισμούς για τα σημεία, τις ευθείες, τις καμπύλες, τις επιφάνειες και τα στερεά για την εξαγωγή λογικών συμπερασμάτων.
Ιστορια: Λόγω των άμεσων πρακτικών της εφαρμογών, η γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των μαθηματικών. Τη γεωμετρία ανέπτυξαν εμπειρικά οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι. Μετά τις πλημμύρες του Νείλου, οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν εμπειρική γεωμετρία, για να υπολογίσουν τα όρια των χωραφιών τους. Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν τις αρχές της τριγωνομετρίας διαιρώντας τον κύκλο και τις γωνίες σε 360 μοίρες και υπολογίζοντας τον αριθμό π, δηλαδή το πηλίκο του μήκους της περιφέρειας του κύκλου δια το μήκος της διαγωνίου του, περίπου ίσο με 3+1/8.
Την γεωμετρία ως επιστήμη ανέδειξε ο Θαλής ο Μιλήσιος εισάγοντας την απόδειξη.
Ιστορια: Λόγω των άμεσων πρακτικών της εφαρμογών, η γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των μαθηματικών. Τη γεωμετρία ανέπτυξαν εμπειρικά οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι. Μετά τις πλημμύρες του Νείλου, οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν εμπειρική γεωμετρία, για να υπολογίσουν τα όρια των χωραφιών τους. Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν τις αρχές της τριγωνομετρίας διαιρώντας τον κύκλο και τις γωνίες σε 360 μοίρες και υπολογίζοντας τον αριθμό π, δηλαδή το πηλίκο του μήκους της περιφέρειας του κύκλου δια το μήκος της διαγωνίου του, περίπου ίσο με 3+1/8.
Την γεωμετρία ως επιστήμη ανέδειξε ο Θαλής ο Μιλήσιος εισάγοντας την απόδειξη.
Πρώτοι αριθμοί
Στα μαθηματικά πρώτος αριθμός (ή απλά πρώτος) είναι ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι η μονάδα και ο εαυτός του.
Το μηδέν και το ένα δεν είναι πρώτοι αριθμοί. Η ακολουθία των 25 πρώτων αριθμών είναι η εξής:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 ...
Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος άρτιος (ζυγός) πρώτος αριθμός. Όλοι οι άλλοι πρώτοι είναι περιττοί (μονοί).
Οι πρώτοι αριθμοί έχουν άπειρο πλήθος. Η πρόταση αυτή έχει αποδειχτεί με διάφορους τρόπους. Η πρώτη γνωστή απόδειξη είναι του Ευκλείδη.
Η εύρεση των πρώτων αριθμών απασχόλησε από την αρχαιότητα τους μαθηματικούς. Ένας από τους πιο απλούς αλλά και αργούς τρόπους για (μαζική) εύρεση πολλών πρώτων είναι το λεγόμενο κόσκινο του Ερατοσθένη: Στο σύνολο των φυσικών αριθμών - πρακτικά έως κάποιο μεγάλο αριθμό Ν - αρχίζουμε και αποκλείουμε πρώτα τα πολλαπλάσια του 2
μετά τα πολλαπλάσια του επόμενου μη διαγραμμένου αριθμού κ.ο.κ. έως το Ν. Παρατηρούμε ότι όλο και λιγότερους αριθμούς θα βρίσκουμε προς διαγραφή. Οι αριθμοί που θα απομείνουν είναι όλοι πρώτοι. Το κόσκινο του Ερατοσθένη είναι ένας αργός αλγόριθμος για το αν ένας συγκεκριμένος αριθμός Ν είναι πρώτος ή όχι.
Όλοι οι πρώτοι αριθμοί στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, εκτός του 2 και του 5, έχουν ως τελευταίο ψηφίο ένα από τα 1, 3, 7 ή 9, διότι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0, 2, 4, 6 και 8 είναι πολλαπλάσια του 2 ενώ οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5 είναι πολλαπλάσια του 5.
Το μηδέν και το ένα δεν είναι πρώτοι αριθμοί. Η ακολουθία των 25 πρώτων αριθμών είναι η εξής:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 ...
Ο αριθμός 2 είναι ο μόνος άρτιος (ζυγός) πρώτος αριθμός. Όλοι οι άλλοι πρώτοι είναι περιττοί (μονοί).
Οι πρώτοι αριθμοί έχουν άπειρο πλήθος. Η πρόταση αυτή έχει αποδειχτεί με διάφορους τρόπους. Η πρώτη γνωστή απόδειξη είναι του Ευκλείδη.
Η εύρεση των πρώτων αριθμών απασχόλησε από την αρχαιότητα τους μαθηματικούς. Ένας από τους πιο απλούς αλλά και αργούς τρόπους για (μαζική) εύρεση πολλών πρώτων είναι το λεγόμενο κόσκινο του Ερατοσθένη: Στο σύνολο των φυσικών αριθμών - πρακτικά έως κάποιο μεγάλο αριθμό Ν - αρχίζουμε και αποκλείουμε πρώτα τα πολλαπλάσια του 2
μετά τα πολλαπλάσια του επόμενου μη διαγραμμένου αριθμού κ.ο.κ. έως το Ν. Παρατηρούμε ότι όλο και λιγότερους αριθμούς θα βρίσκουμε προς διαγραφή. Οι αριθμοί που θα απομείνουν είναι όλοι πρώτοι. Το κόσκινο του Ερατοσθένη είναι ένας αργός αλγόριθμος για το αν ένας συγκεκριμένος αριθμός Ν είναι πρώτος ή όχι.
Όλοι οι πρώτοι αριθμοί στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, εκτός του 2 και του 5, έχουν ως τελευταίο ψηφίο ένα από τα 1, 3, 7 ή 9, διότι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0, 2, 4, 6 και 8 είναι πολλαπλάσια του 2 ενώ οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5 είναι πολλαπλάσια του 5.
Ευκλείδης
Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια, ήταν Έλληνας μαθηματικός που δίδαξε και πέθανε στην
Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου περίπου κατά την διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου του πρώτου.
Θεωρείται ο "πατέρας της γεωμετρίας". Το πιο γνωστό έργο του είναι τα Στοιχεία, που αποτελούνται από 13 βιβλία. Παρότι πολλά από τα περιεχόμενα των Στοιχείων του ήταν είδη γνωστά από παλαιότερα, ένα από τα επιτεύγματά του ήταν ότι τα παρουσίασε σε ένα ενιαίο συμπαγές πλαίσιο. Η γεωμετρία του Ευκλείδη αποτέλεσε ένα
θεμέλιο για την ανάπτυξη της δυτικής επιστήμης και τέχνης.
Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου περίπου κατά την διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου του πρώτου.
Θεωρείται ο "πατέρας της γεωμετρίας". Το πιο γνωστό έργο του είναι τα Στοιχεία, που αποτελούνται από 13 βιβλία. Παρότι πολλά από τα περιεχόμενα των Στοιχείων του ήταν είδη γνωστά από παλαιότερα, ένα από τα επιτεύγματά του ήταν ότι τα παρουσίασε σε ένα ενιαίο συμπαγές πλαίσιο. Η γεωμετρία του Ευκλείδη αποτέλεσε ένα
θεμέλιο για την ανάπτυξη της δυτικής επιστήμης και τέχνης.
Γεωμετρικά όργανα
ΔΙΑΒΗΤΗΣ: Ο διαβήτης είναι το βασικότερο γεωμετρικό όργανο μετά τον κανόνα για την χάραξη σχημάτων, κατασκευών και για μετρήσεις. Οι διαβήτες χρησιμοποιούνται κυρίως στην γεωμετρία και στην ναυσιπλοΐα.
ΚΑΝΟΝΑΣ: Κανόνας ή χάρακας είναι γεωμετρικό όργανο που χρησιμοποιείται για μέτρηση αποστάσεων και χάραξη ευθειών. Συνήθως φέρει υποδιαιρέσεις μονάδων μήκους και κατασκευάζεται από πλαστικό, μέταλλο ή ξύλο.
ΤΡΙΓΩΝΟ: Το γεωμετρικό όργανο "τρίγωνο" συνήθως είναι ορθογώνιο. Κυρίως το χρησιμοποιούμε για την κατασκευή καθέτων.
ΜΟΙΡΟΓΝΩΜΟΝΙΟ: Γεωμετρικό όργανο για τη μέτρηση γωνιών.
ΚΑΝΟΝΑΣ: Κανόνας ή χάρακας είναι γεωμετρικό όργανο που χρησιμοποιείται για μέτρηση αποστάσεων και χάραξη ευθειών. Συνήθως φέρει υποδιαιρέσεις μονάδων μήκους και κατασκευάζεται από πλαστικό, μέταλλο ή ξύλο.
ΤΡΙΓΩΝΟ: Το γεωμετρικό όργανο "τρίγωνο" συνήθως είναι ορθογώνιο. Κυρίως το χρησιμοποιούμε για την κατασκευή καθέτων.
ΜΟΙΡΟΓΝΩΜΟΝΙΟ: Γεωμετρικό όργανο για τη μέτρηση γωνιών.
Λαογραφικό Μουσείο Αγίου Νικολάου
Το λαογραφικό Μουσείο Αγίου Νικολάου ιδρύθηκε το 1978.Στεγάζεται σε ένα από τα παλαιότερα κτίρια του Αγίου Νικολάου, δίπλα στη γέφυρα της λίμνης. Στην πορεία του χρόνου και μέχρι σήμερα η συλλογή εμπλουτίζεται διαρκώς με αντικείμενα που δωρίζονται στο Μουσείο ή αγοράζονται από τη Διοίκηση της Εταιρείας. Πρωτεργάτης της δημιουργίας του Λαογραφικού Μουσείου είναι ο τωρινός πρόεδρος της Περιηγητικής Λέσχης της πόλης μας, Στρατής Κουρουπάκης. Τα εκθέματα (περισσότερα από 1000) είχε φυλάξει το Διοικητικό Συμβούλιο για πολλά χρόνια σε διάφορες αποθήκες και μπαούλα, μέχρι το 1978, όταν τελικά κατάφερε «να τα πάρει» από την κεντρική διοίκηση της Περιηγητικής Λέσχης Αθηνών (η οποία τα διεκδικούσε).
Το Μουσείο περιέχει συλλογή αποτελούμενη από αυθεντικά και σπάνια δείγματα της Κρητικής τέχνης, κυρίως υφαντά και κεντήματα, ορισμένα από τα οποία είναι μοναδικά (π.χ. το κιλίμι με τις αλλεπάλληλες σειρές πυκνών διακοσμητικών με βάση τον ρόμβο, που εικονίζεται στο εξώφυλλο,προέρχεται από την Κριτσά και χρονολογείται στα τέλη του 18ου αιώνα).
Εκτίθενται αντικείμενα καθημερινής χρήσης ενός παραδοσιακού Κρητικού νοικοκυριού, μια συλλογή από παλαιές ιερές εικόνες, πλούσια συλλογή ξυλόγλυπτων μικροαντικειμένων, χειρόγραφα και άλλα ιερατικά βιβλία, παλαιά έγγραφα αναφερόμενα στην τοπική ιστορία, εργαλεία γεωργικής χρήσης, αργαλειός, παλιές κασέλες, παλιές φωτογραφίες, νομίσματα, παραδοσιακά μουσικά όργανα κ.α.Εντυπωσιακή είναι η συλλογή όπλων του στρατηγού Ιωάννη Αλεξάκη, με κομμάτια από την εποχή της Τουρκοκρατίας στην Κρήτη. Εξαιρετική είναι η συλλογή από τσεβρέδες, κρητικές πετσέτες και άλλα κεντήματα.
Το Μουσείο περιέχει συλλογή αποτελούμενη από αυθεντικά και σπάνια δείγματα της Κρητικής τέχνης, κυρίως υφαντά και κεντήματα, ορισμένα από τα οποία είναι μοναδικά (π.χ. το κιλίμι με τις αλλεπάλληλες σειρές πυκνών διακοσμητικών με βάση τον ρόμβο, που εικονίζεται στο εξώφυλλο,προέρχεται από την Κριτσά και χρονολογείται στα τέλη του 18ου αιώνα).
Εκτίθενται αντικείμενα καθημερινής χρήσης ενός παραδοσιακού Κρητικού νοικοκυριού, μια συλλογή από παλαιές ιερές εικόνες, πλούσια συλλογή ξυλόγλυπτων μικροαντικειμένων, χειρόγραφα και άλλα ιερατικά βιβλία, παλαιά έγγραφα αναφερόμενα στην τοπική ιστορία, εργαλεία γεωργικής χρήσης, αργαλειός, παλιές κασέλες, παλιές φωτογραφίες, νομίσματα, παραδοσιακά μουσικά όργανα κ.α.Εντυπωσιακή είναι η συλλογή όπλων του στρατηγού Ιωάννη Αλεξάκη, με κομμάτια από την εποχή της Τουρκοκρατίας στην Κρήτη. Εξαιρετική είναι η συλλογή από τσεβρέδες, κρητικές πετσέτες και άλλα κεντήματα.
Ερατοσθένης ο Κυρηναίος
Ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνη το 276 π।Χ και πέθανε το 194 π.Χ. Ήταν ένας από τους πιο σημαντικούς αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς, γεωγράφους και αστρονόμους.
Είναι ο πρώτος άνθρωπος που υπολόγισε την ακτίνα της Γης και κατασκεύασε ένα χάρτη της όπως τότε την θεωρούσε.
Το 236 π.Χ ορίστηκε από τον Πτολεμαίο τον Γ’ τον Ευεργέτη διευθυντής της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, διαδεχομένος τον Ζηνόδοτο.
Το 194 π.Χ τυφλώθηκε και ένα χρόνο μετά πέθανε. Δε παντρεύτηκε ποτέ.
Είναι ο πρώτος άνθρωπος που υπολόγισε την ακτίνα της Γης και κατασκεύασε ένα χάρτη της όπως τότε την θεωρούσε.
Το 236 π.Χ ορίστηκε από τον Πτολεμαίο τον Γ’ τον Ευεργέτη διευθυντής της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, διαδεχομένος τον Ζηνόδοτο.
Το 194 π.Χ τυφλώθηκε και ένα χρόνο μετά πέθανε. Δε παντρεύτηκε ποτέ.
Υπατία η Αλεξανδρινή
Η ζωή της
Όταν γεννήθηκε η Υπατία γεννήθηκε την 25η Νοεμβρίου του 364 μ.Χ., η διανοητική ζωή της Αλεξάνδρειας βρισκόταν σε κατάσταση επικίνδυνης σύγχυσης. Ο πατέρας της Υπατίας, ο Θέων, ήταν μαθηματικός και αστρονόμος στο Μουσείο.
Σπούδασε στη νεοπλατωνική σχολή του Πλούταρχου του Νεότερου και της κόρης του Ασκληπιγένειας στην Αθήνα και ανατράφηκε στις θεμελιώδεις αρχές της Πλατωνικής Σχολής. Την εποχή εκείνη υπήρχε διάκριση μεταξύ των νεοπλατωνικών σχολών της Αλεξάνδρειας και της Αθήνας. Η σχολή της Αθήνας τόνιζε περισσότερο τη μαγεία και την απόκρυφη επιστήμη. Αλλά για τους Χριστιανούς, όλοι οι Πλατωνιστές ήταν επικίνδυνοι αιρετικοί. Οι νεοπλατωνικοί ήταν ασκητικοί και παρέπεμπαν στον Πυθαγόρα, ο οποίος είχε διδάξει ότι η σοφία επιτυγχάνεται μέσω της αποχής. Αν και η Υπατία τηρούσε πιστά αυτές τις αρχές, δεν απαιτούσε από τους μαθητές της, που ήταν διαφόρων θρησκειών, ανάλογους περιορισμούς.
Ο μαρτυρικός της θάνατος
Κατά την περίοδο 412-415 αυτοκρατορικός έπαρχος της Αιγύπτου ήταν ο χριστιανός Ορέστης, ο οποίος όμως, όπως και άλλοι πολιτικοί επισκεπτόταν την Υπατία για να την συμβουλευτεί για θέματα πολιτείας, αλλά και για να παρακολουθήσει τα μαθήματά της.. Αμέσως ο Κύριλλος άρχισε έναν αγώνα για την «καθαρότητα της πίστης», εκδιώκοντας από την πόλη όλους τους μη ορθόδοξους χριστιανούς. Φυσικά αυτός ο διωγμός έλαβε χώρα και για την επέκταση της θρησκευτικής του δικαιοδοσίας στις υποθέσεις της κρατικής διοίκησης. Μόλις ο Ορέστης αντέδρασε, ορισμένοι μοναχοί υπό την παρότρυνση του Κυρίλλου αποπειράθηκαν να τον δολοφονήσουν, τραυματίζοντάς τον στο κεφάλι. Ο Ορέστης βρήκε στην Υπατία έναν σύμμαχο.Προκειμένου λοιπόν να την κατηγορήσει και να την αποξενώσει από τον απλό λαό, ο Κύριλλος την κατηγόρησε ότι ασκούσε μαύρη μαγεία!Την σαρακοστή λοιπόν του 415, ενώ η Υπατία επέστρεφε στην κατοικία της, μετά από τον συνηθισμένο περίπατό της στην πόλη, μια ομάδα χριστιανών αφού έκαψαν το σπίτι της, την έσυραν στην εκκλησία Καισάρειον, όπου με βιαιο τροπο την θανάτωσαν.
Το έργο της
Αν και τα γραπτά της καταστράφηκαν στην πυρκαγιά της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, μπορούμε να σχηματίσουμε μια εικόνα του περιεχομένου τους από τα σχόλια σύγχρονών της συγγραφέων.Τα περισσότερα από τα γραπτά της Υπατίας ξεκίνησαν σαν σημειώσεις για τους μαθητές της. Κανένα δεν έχει διασωθεί ολοκληρωμένο, αν και είναι πιθανό τμήματα του έργου της να έχουν ενσωματωθεί στις εκτενείς πραγματείες του Θέωνα. Το σημαντικότερο έργο της Υπατίας ήταν στην άλγεβρα. Έγραψε σχόλια στην Αριθμητική του Διόφαντου σε 13 βιβλία. Ο Διόφαντος έζησε και εργάσθηκε στην Αλεξάνδρεια τον τρίτο αιώνα και έχει ονομασθεί «πατέρας της άλγεβρας». Εκτός από τη φιλοσοφία και τα μαθηματικά, η Υπατία είχε ενδιαφέρον για τη μηχανική και την πρακτική τεχνολογία. Τα γράμματα του Συνέσιου περιέχουν σχέδια για αρκετά επιστημονικά όργανα περιλαμβάνοντας έναν αστρολάβο.
Όταν γεννήθηκε η Υπατία γεννήθηκε την 25η Νοεμβρίου του 364 μ.Χ., η διανοητική ζωή της Αλεξάνδρειας βρισκόταν σε κατάσταση επικίνδυνης σύγχυσης. Ο πατέρας της Υπατίας, ο Θέων, ήταν μαθηματικός και αστρονόμος στο Μουσείο.
Σπούδασε στη νεοπλατωνική σχολή του Πλούταρχου του Νεότερου και της κόρης του Ασκληπιγένειας στην Αθήνα και ανατράφηκε στις θεμελιώδεις αρχές της Πλατωνικής Σχολής. Την εποχή εκείνη υπήρχε διάκριση μεταξύ των νεοπλατωνικών σχολών της Αλεξάνδρειας και της Αθήνας. Η σχολή της Αθήνας τόνιζε περισσότερο τη μαγεία και την απόκρυφη επιστήμη. Αλλά για τους Χριστιανούς, όλοι οι Πλατωνιστές ήταν επικίνδυνοι αιρετικοί. Οι νεοπλατωνικοί ήταν ασκητικοί και παρέπεμπαν στον Πυθαγόρα, ο οποίος είχε διδάξει ότι η σοφία επιτυγχάνεται μέσω της αποχής. Αν και η Υπατία τηρούσε πιστά αυτές τις αρχές, δεν απαιτούσε από τους μαθητές της, που ήταν διαφόρων θρησκειών, ανάλογους περιορισμούς.
Ο μαρτυρικός της θάνατος
Κατά την περίοδο 412-415 αυτοκρατορικός έπαρχος της Αιγύπτου ήταν ο χριστιανός Ορέστης, ο οποίος όμως, όπως και άλλοι πολιτικοί επισκεπτόταν την Υπατία για να την συμβουλευτεί για θέματα πολιτείας, αλλά και για να παρακολουθήσει τα μαθήματά της.. Αμέσως ο Κύριλλος άρχισε έναν αγώνα για την «καθαρότητα της πίστης», εκδιώκοντας από την πόλη όλους τους μη ορθόδοξους χριστιανούς. Φυσικά αυτός ο διωγμός έλαβε χώρα και για την επέκταση της θρησκευτικής του δικαιοδοσίας στις υποθέσεις της κρατικής διοίκησης. Μόλις ο Ορέστης αντέδρασε, ορισμένοι μοναχοί υπό την παρότρυνση του Κυρίλλου αποπειράθηκαν να τον δολοφονήσουν, τραυματίζοντάς τον στο κεφάλι. Ο Ορέστης βρήκε στην Υπατία έναν σύμμαχο.Προκειμένου λοιπόν να την κατηγορήσει και να την αποξενώσει από τον απλό λαό, ο Κύριλλος την κατηγόρησε ότι ασκούσε μαύρη μαγεία!Την σαρακοστή λοιπόν του 415, ενώ η Υπατία επέστρεφε στην κατοικία της, μετά από τον συνηθισμένο περίπατό της στην πόλη, μια ομάδα χριστιανών αφού έκαψαν το σπίτι της, την έσυραν στην εκκλησία Καισάρειον, όπου με βιαιο τροπο την θανάτωσαν.
Το έργο της
Αν και τα γραπτά της καταστράφηκαν στην πυρκαγιά της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, μπορούμε να σχηματίσουμε μια εικόνα του περιεχομένου τους από τα σχόλια σύγχρονών της συγγραφέων.Τα περισσότερα από τα γραπτά της Υπατίας ξεκίνησαν σαν σημειώσεις για τους μαθητές της. Κανένα δεν έχει διασωθεί ολοκληρωμένο, αν και είναι πιθανό τμήματα του έργου της να έχουν ενσωματωθεί στις εκτενείς πραγματείες του Θέωνα. Το σημαντικότερο έργο της Υπατίας ήταν στην άλγεβρα. Έγραψε σχόλια στην Αριθμητική του Διόφαντου σε 13 βιβλία. Ο Διόφαντος έζησε και εργάσθηκε στην Αλεξάνδρεια τον τρίτο αιώνα και έχει ονομασθεί «πατέρας της άλγεβρας». Εκτός από τη φιλοσοφία και τα μαθηματικά, η Υπατία είχε ενδιαφέρον για τη μηχανική και την πρακτική τεχνολογία. Τα γράμματα του Συνέσιου περιέχουν σχέδια για αρκετά επιστημονικά όργανα περιλαμβάνοντας έναν αστρολάβο.
Κυριακή 2 Μαΐου 2010
Διόφαντος
Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς ήταν Έλληνας μαθηματικός του τρίτου αιώνα (περίπου 210 – 290), ο οποίος έζησε στην Αλεξάνδρεια της ρωμαϊκής Αιγύπτου. Έχει αποκληθεί «πατέρας της άλγεβρας» εξαιτίας του εμβληματικού έργου του «Αριθμητικά», όπου περιέχονται αλγεβρικά προβλήματα τα οποία λύνονται με εξισώσεις και συστήματα πρώτου και δευτέρου βαθμού. Ο Διόφαντος συνεισέφερε πολύ στην ανάπτυξη της αριθμητικής, καθιέρωσε και τυποποίησε έναν τύπο σύντομου μαθηματικού συμβολισμού για τη γραφή προβλημάτων, για πρώτη φορά σε ευρεία κλίμακα άρχισε να χρησιμοποιεί τα κλάσματα ως πραγματικούς αριθμούς και ασχολήθηκε με την επίλυση εξισώσεων με πολλαπλούς αγνώστους όρους. Ωστόσο ακόμα και με τον Διόφαντο ο ελληνικός μαθηματικός συμβολισμός παρέμεινε βασισμένος στον καθημερινό λόγο και δύσχρηστος με τα σημερινά δεδομένα. Από τα αρχικώς δεκατρία βιβλία των Αριθμητικών μόνο έξι έχουν επιβιώσει ως σήμερα. Κατά τον Μεσαίωνα η γνώση των ευρημάτων του Διόφαντου διατηρήθηκε στο Βυζαντινή Αυτοκρατορία και στον αραβικό κόσμο, μέσω μεταφράσεων από τα ελληνικά. Τελικά το 1570 ο Ιταλός μαθηματικός Ραφαήλ Μπομπέλι μετέφρασε στα λατινικά τα Αριθμητικά και χρησιμοποίησε τα προβλήματα που περιείχαν για τα δικά του συγγράμματα. Τον επόμενο αιώνα τα γραπτά του Διόφαντου επηρέασαν τον εξέχοντα μαθηματικό Πιερ ντε Φερμά. Σήμερα «διοφαντικές» καλούνται οι εξισώσεις ακέραιων συντελεστών των οποίων ζητούνται οι ακέραιες λύσεις.
Πέμπτη 29 Απριλίου 2010
Μουσείο Εικαστικών Τεχνών Ηρακλείου
Tο Μουσείο Εικαστικών Τεχνών Ηρακλείου (Μ.Ε.Τ.Η.), είναι αστική εταιρεία μη κερδοσκοπικού χαρακτήρα και ιδρύθηκε το Μάϊο του έτους 2000 από τον K. Σχιζάκη.Σχεδιάζονται: η διοργάνωση επιμορφωτικών και εκπαιδευτικών σεμιναρίων και διαλέξεων σε θέματα καλλιτεχνικής δημιουργίας, συνέδρια, συναυλίες, σεμινάρια, εκδόσεις, ενώ ο χώρος θα προσφέρεται για εκθέσεις εικαστικών τεχνών, ανταλλαγές συλλογών, συνεργασίες με άλλα ιδιωτικά ή κρατικά μουσεία σε εθνικό και ευρωπαϊκό επίπεδο.
Δημόκριτος
Δημόκριτος (~460 π.Χ.- 370 π.Χ) προσωκρατικός φιλόσοφος, γεννήθηκε στα Άβδηρα στην Θράκη. Μαθητής του Λεύκιππου. Πίστευε ότι η ύλη αποτελείτo από αδιάσπαστα, αόρατα στοιχεία, τα άτομα. Επίσης ήταν ο πρώτος που αντιλήφθηκε ότι ο Γαλαξίας είναι το φως από μακρινά αστέρια. Ήταν ανάμεσα στους πρώτους που ανέφεραν ότι το σύμπαν έχει και άλλους "κόσμους" και μάλιστα ορισμένους κατοικημένους. Ο Δημόκριτος ξεκαθάριζε ότι το κενό δεν ταυτίζεται με το τίποτα ("μη ον"), είναι δηλαδή κάτι το υπαρκτό.
Τετάρτη 28 Απριλίου 2010
Τα μαθηματικά της μη απότομης μετάβασης
Μια μέρα, την πρώτη ώρα που συνήθως ξεκινάμε το μάθημα 8.15, ένας μαθητής ήρθε 8.16 και παρακάλεσε να μπει στην τάξη.
Του επιτρέψαμε। Σε ένα λεπτό ήρθε ένας ακόμα και ζήτησε να μπει। Δεν του επιτρέψαμε। Οι μαθητές της τάξης διαμαρτυρήθηκαν: είναι άδικο κύριε, είπαν। Ο δεύετρος μαθητής ήρθε ένα λεπτό μετά τον προηγούμενο। Για ένα λεπτό;...
Πήραμε το συμβάν ως αφορμή για να συζητήσουμε το πρόβλημα της αργής εξέλιξης στα μαθηματικά।
Θέσαμε αρχικά ένα πρόβλημα δικαιοσύνης। Αν οι 30 μαθητές έρχονταν ένας ένας από τις 8.15 ανά ένα λεπτό αργότερα είχαμε δυο επιλογές:
1. Δεν δεχόμαστε κανέναν από την αρχή εφαρμόζοντας τυπικά τον κανονισμό και δεν υπήρχε πρόβλημα।
2. Δεχόμαστε τον πρώτο 8.15, οπότε ο κάθε επόμενος θα έπρεπε να γίνει δεκτός στο μάθημα αφού καθυστέρησε μόνο ένα λεπτό από τον προηγούμενο που δεχθήκαμε. Έτσι ο τελευταίος θα έμπαινε στην τάξη στις 8.45, δηλαδή 10 λεπτά πριν βγούνε για διάλλειμα.
Οι μαθητές ξαφνιάστηκαν.
Παράδειγμα δεύτερο. Το 2 μπορεί να θεωρηθεί "μεγάλος αριθμός"; τους ρωτήσαμε. Η απάντηση ήταν όχι. Τώρα λοιπόν, τους είπαμε, προσθέτουμε μια μονάδα στον αριθμό αυτόν, θα γίνει αυτός τώρα "μεγάλος αριθμός"; Η απάντηση ήταν όχι. Άρα λοιπόν αν προσθέτουμε μια μονάδα σε έναν "μικρό" αριθμό αυτός θα παραμένει "μικρός". Έτσι, λοιπόν, προσθέτωντας μια μονάδα σε έναν "μικρό" συνεχώς, αυτός θα παραμένει "μικρός". Άτοπο, γιατί μετά από πολλές αυξήσεις θα γίνει μεγάλος.
Παράδειγμα τρίτο. Το παράδοξο του καραφλού. Σε έναν που έχει μαλιά και δεν είναι καραφλός αν του βγάλουμε μια τρίχα θα γίνει καραφλός; Η απάντηση είναι σαφώς όχι. Άρα αφαιρώντας από κάποιον μια τρίχα αυτός δεν γίνεται καραφλός. Επαναλαμβάνουμε συνεχώς το πείραμα στον μη καραφλό και φυσικά μετά την αφαίρεση μιας τρίχας αυτός δεν μπορεί να γίνει καραφλός. Άτοπο, γιατί μετά από πολλές επαναλήψεις ... δεν θα έχει τρίχα στο κεφάλι.
Παράδειγμα τέταρτο. Το παράδοξο του σωρού. Ένα φορτηγό ξεφορτώνει από την γεμάτη καρότσα του τα χαλίκια που κουβαλούσε. Λέμε τότε ότι σχηματίστηκε ένας σωρός χαλίκια. Το ερώτημα τώρα είναι: Αν πάρουμε ένα χαλίκι από το σωρό αυτός θα εξακολουθήσει να είναι σωρός; Βέβαια είναι η απάντηση. Στον νέο σωρό επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία. Και ξανά φυσικά με την προηγούμενη λογική είναι σωρός. Αν τώρα το κάνουμε πάρα πολλές φορές αυτό θα τελειώσουν τα χαλίκια.
Σε όλες τις περιπτώσεις οι παραπάνω ιδιότητες δεν αλλάζουν απότομα, αλλά αργά και σταδιακά. Τα δυο τελευταία παραδείγματα χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά για να καταλάβουμε τις σταδιακές μεταβολές κάποιων ιδιοτήτων.
Του επιτρέψαμε। Σε ένα λεπτό ήρθε ένας ακόμα και ζήτησε να μπει। Δεν του επιτρέψαμε। Οι μαθητές της τάξης διαμαρτυρήθηκαν: είναι άδικο κύριε, είπαν। Ο δεύετρος μαθητής ήρθε ένα λεπτό μετά τον προηγούμενο। Για ένα λεπτό;...
Πήραμε το συμβάν ως αφορμή για να συζητήσουμε το πρόβλημα της αργής εξέλιξης στα μαθηματικά।
Θέσαμε αρχικά ένα πρόβλημα δικαιοσύνης। Αν οι 30 μαθητές έρχονταν ένας ένας από τις 8.15 ανά ένα λεπτό αργότερα είχαμε δυο επιλογές:
1. Δεν δεχόμαστε κανέναν από την αρχή εφαρμόζοντας τυπικά τον κανονισμό και δεν υπήρχε πρόβλημα।
2. Δεχόμαστε τον πρώτο 8.15, οπότε ο κάθε επόμενος θα έπρεπε να γίνει δεκτός στο μάθημα αφού καθυστέρησε μόνο ένα λεπτό από τον προηγούμενο που δεχθήκαμε. Έτσι ο τελευταίος θα έμπαινε στην τάξη στις 8.45, δηλαδή 10 λεπτά πριν βγούνε για διάλλειμα.
Οι μαθητές ξαφνιάστηκαν.
Παράδειγμα δεύτερο. Το 2 μπορεί να θεωρηθεί "μεγάλος αριθμός"; τους ρωτήσαμε. Η απάντηση ήταν όχι. Τώρα λοιπόν, τους είπαμε, προσθέτουμε μια μονάδα στον αριθμό αυτόν, θα γίνει αυτός τώρα "μεγάλος αριθμός"; Η απάντηση ήταν όχι. Άρα λοιπόν αν προσθέτουμε μια μονάδα σε έναν "μικρό" αριθμό αυτός θα παραμένει "μικρός". Έτσι, λοιπόν, προσθέτωντας μια μονάδα σε έναν "μικρό" συνεχώς, αυτός θα παραμένει "μικρός". Άτοπο, γιατί μετά από πολλές αυξήσεις θα γίνει μεγάλος.
Παράδειγμα τρίτο. Το παράδοξο του καραφλού. Σε έναν που έχει μαλιά και δεν είναι καραφλός αν του βγάλουμε μια τρίχα θα γίνει καραφλός; Η απάντηση είναι σαφώς όχι. Άρα αφαιρώντας από κάποιον μια τρίχα αυτός δεν γίνεται καραφλός. Επαναλαμβάνουμε συνεχώς το πείραμα στον μη καραφλό και φυσικά μετά την αφαίρεση μιας τρίχας αυτός δεν μπορεί να γίνει καραφλός. Άτοπο, γιατί μετά από πολλές επαναλήψεις ... δεν θα έχει τρίχα στο κεφάλι.
Παράδειγμα τέταρτο. Το παράδοξο του σωρού. Ένα φορτηγό ξεφορτώνει από την γεμάτη καρότσα του τα χαλίκια που κουβαλούσε. Λέμε τότε ότι σχηματίστηκε ένας σωρός χαλίκια. Το ερώτημα τώρα είναι: Αν πάρουμε ένα χαλίκι από το σωρό αυτός θα εξακολουθήσει να είναι σωρός; Βέβαια είναι η απάντηση. Στον νέο σωρό επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία. Και ξανά φυσικά με την προηγούμενη λογική είναι σωρός. Αν τώρα το κάνουμε πάρα πολλές φορές αυτό θα τελειώσουν τα χαλίκια.
Σε όλες τις περιπτώσεις οι παραπάνω ιδιότητες δεν αλλάζουν απότομα, αλλά αργά και σταδιακά. Τα δυο τελευταία παραδείγματα χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά για να καταλάβουμε τις σταδιακές μεταβολές κάποιων ιδιοτήτων.
Τρίτη 20 Απριλίου 2010
Μουσείο Εικαστικών Τεχνών
Tο Μουσείο Εικαστικών Τεχνών Ηρακλείου (Μ.Ε.Τ.Η.), είναι αστική εταιρεία μη κερδοσκοπικού χαρακτήρα και ιδρύθηκε το Μάϊο του έτους 2000 από τον K. Σχιζάκη.Σχεδιάζονται: η διοργάνωση επιμορφωτικών και εκπαιδευτικών σεμιναρίων και διαλέξεων σε θέματα καλλιτεχνικής δημιουργίας, συνέδρια, συναυλίες, σεμινάρια, εκδόσεις, ενώ ο χώρος θα προσφέρεται για εκθέσεις εικαστικών τεχνών, ανταλλαγές συλλογών, συνεργασίες με άλλα ιδιωτικά ή κρατικά μουσεία σε εθνικό και ευρωπαϊκό επίπεδο.
Δευτέρα 12 Απριλίου 2010
Ιστοεξερεύνηση
Μπορείτε παιδιά να γράψετε κάτι για το Μουσείο της ιστοσελίδας: http://www।heraklionvisualarts.gr/
...
...
Τρίτη 6 Απριλίου 2010
Παρασκευή 26 Μαρτίου 2010
Μοτίβο 1
Η Νεφέλη Ξυνού έστειλε το παρακάτω πρόγραμμα για να κατασκευάσουμε στον 'χελωνόκοσμο' το μοτίβο:
;;τετράγωνο
μ 50 σπ δ 90 μ 25 σκ μ 50 σπ π 25 α 90 σκ μ 25 π 50 σπ
home
σκ
κχ
;;τετράγωνομ 100 δ 90 μ 100 δ 90 μ 100 δ 90 μ 100 δ 90
;;σταυρόςμ 50 σπ δ 90 μ 25 σκ μ 50 σπ π 25 α 90 σκ μ 25 π 50 σπ
home
σκ
κχ
Πέμπτη 25 Μαρτίου 2010
Τετάρτη 24 Μαρτίου 2010
Ιστοεξερεύνηση
Παιδιά να πάτε στην ιστοσελίδα
http://www.dimosagn.gr/index.php?option=com_content&task=view&id=59&Itemid=161
και να γράψετε κάτι σχετικά μ' αυτήν.
http://www.dimosagn.gr/index.php?option=com_content&task=view&id=59&Itemid=161
και να γράψετε κάτι σχετικά μ' αυτήν.
Ιστοεξερεύνηση
Παιδιά να πάτε στην ιστοσελίδα
http://www.dimosagn.gr/index.php?option=com_content&task=view&id=208&Itemid=88
και να γράψετε κάτι σχετικά με το περιεχόμενό της.
http://www.dimosagn.gr/index.php?option=com_content&task=view&id=208&Itemid=88
και να γράψετε κάτι σχετικά με το περιεχόμενό της.
Ιστοεξερεύνηση
Παιδιά να πάτε στη διεύθυνση
http://www.dimosagn.gr/index.php?option=com_content&task=view&id=58&Itemid=160
και να γράψετε μερικά πράγματα για να τα αναρτήσουμε.
http://www.dimosagn.gr/index.php?option=com_content&task=view&id=58&Itemid=160
και να γράψετε μερικά πράγματα για να τα αναρτήσουμε.
Κυριακή 21 Μαρτίου 2010
Μαθηματικά
Ο «μάγος» των μαθηματικών
Δημοσιεύτηκε στο ΒΗΜΑ 21-3-2010
Αύριο Δευτέρα 22 Μαρτίου, ώρα 7 μ.μ., στη σειρά των εκδηλώσεων Μegaron-Ρlus είναι προγραμματισμένη η ομιλία του Μάρκους ντι Σότοϊ, ενός Αγγλου με πολλά ταλέντα, όχι μόνο στα μαθηματικά αλλά και στη μουσική, στο θέατρο, ακόμη και στο ποδόσφαιρο. Το πάθος του για τους πρώτους αριθμούς, τη συμμετρία και την εκλαΐκευση της επιστήμης μοιράστηκε μαζί μας ο σημαντικός αυτός μαθηματικός
ΤΟΥ Α.ΓΑΛΔΑΔΑ | Κυριακή 21 Μαρτίου 2010
Αν ρωτήσεις τον κ. Ντι Σότοϊ, έναν από τους γνωστότερους μαθηματικούς της Αγγλίας, για τον Μπέκαμ ή την Αρσεναλ, δεν θα θυμώσει ούτε θα σνομπάρει. Εχει πολλά να σου πει και μιλάει πρόθυμα γι΄ αυτά. Επίσης, μπορείς να ανοίξεις μια ενδιαφέρουσα συζήτηση μαζί του για τον Θεό. Μην αρχίσεις μόνο να τον ρωτάς τι χρειάζεται η επιστήμη στους ανθρώπους, όπως έκανε κάποιος παρουσιαστής σε ένα τηλεοπτικό πρόγραμμα και τον έκανε κυριολεκτικά... βαπόρι. «Υπάρχει μια όρεξη μεγάλη εκεί έξω στο κοινό για επιστήμη, ο κόσμος θέλει να βγει από τα συνηθισμένα που του δίνουν τα τηλεοπτικά και ραδιοφωνικά προγράμματα, θέλει να του κινήσεις το ενδιαφέρον. Πρέπει και η επιστημονική κοινότητα να παρακινηθεί για να εξηγήσει στην κοινωνία τι είναι το σημαντικό με την επιστήμη» δηλώνει μετά την τρομερή επιτυχία της τηλεοπτικής σειράς που επιμελήθηκε σχετικά με την ιστορία των μαθηματικών. Και προς αυτή την κατεύθυνση έχει κάνει μεγάλες προσπάθειες όχι μόνο με τις αρκετά θεαματικές ομιλίες του αλλά και με την ομάδα φοιτητών που έχει δημιουργήσει και ονομάσει Μarcus Μathemagicians, μαθητές του και στην επιστήμη αλλά και στο να κάνουν τα παιδιά να τους παρακολουθούν με ανοικτό το στόμα όταν τους παρουσιάζουν τα μαθηματικά σαν να είναι το πιο ωραίο παιχνίδι. Οι παραστάσεις των Μathemagicians στα σχολεία είναι δωρεάν και αυτός που προσκαλεί έχει να πληρώσει μόνο για τα ναύλα και το φαγητό.
Θέλει: «Να πάψουμε να χωρίζουμε και να βάζουμε σε κουτάκια τα μαθηματικά. Επίσης, να πάψουμε να δημιουργούμε αυτή την εντύπωση, που επηρέασε πολύ τα προηγούμενα χρόνια και τις γυναίκες, πως οι άνδρες μόνο κάνουν μαθηματικά. Ούτε πλέον ισχύει ο διαχωρισμός που είχε γίνει πριν από 50 χρόνια από τον C. Ρ. Snow στο κλασικό βιβλίο του “Οι δύο κουλτούρες”, όπου επέμενε ότι στην κοινωνία μας θα είσαι ή των Θετικών ή των Ανθρωπιστικών Επιστημών. Εγώ, λέει, δούλεψα με έναν θίασο για το έργο γύρω από τον μαθηματικό Ραμανουτζάν και οι ηθοποιοί με ρωτούσαν για προχωρημένα μαθηματικά, οπότε έπρεπε να τους κάνω κανονικό μάθημα. Και πριν από λίγο, στην ομάδα που παίζω ποδόσφαιρο, αν και κανείς δεν ασχολείται με την επιστήμη, υπήρχε μεγάλος προβληματισμός για τη λειτουργία του επιταχυντή στο CΕRΝ και καθήσαμε και το συζητήσαμε». Μαθηματικά... σαν μουσική
Δομικοί λίθοι όλων των ακεραίων αριθμών, οι πρώτοι αριθμοί αποδεικνύεται ότι είναι για το αριθμητικό μας σύστημα ό,τι τα άτομα για την ύλη
Στην κλασική ερώτηση αν τα μαθηματικά υπάρχουν και τα ανακαλύπτουμε κάποια στιγμή ή τα εφευρίσκουμε, όπως έχουμε εφεύρει το ψαλίδι ή το κανόνι, δεν καταλαμβάνεται από την παραμικρή αμηχανία. «Μου έχουν κάνει τόσες φορές αυτή την ερώτηση. Είναι σαν τη σύνθεση ενός μουσικού κομματιού. Υπάρχουν αναρίθμητοι συνδυασμοί από τις διάφορες νότες και τους ρυθμούς. Εσύ από αυτούς διαλέγεις κάτι. Στην αρχή είναι ανακάλυψη και, στη συνέχεια, από όσα ανακαλύπτεις πως υπάρχουν διαλέγεις ό,τι νομίζεις πιο καλό». Ετσι και τα μαθηματικά, είναι ανακάλυψη και εφεύρεση. Και άλλη μια φορά αυτό επαναλαμβάνεται όταν πρέπει να το εξηγήσεις σε παιδιά ή σε μεγάλους που δεν είναι οι γνώσεις τους τόσο προχωρημένες ώστε να το καταλάβουν μόνοι τους. Τότε η φαντασία και το πάθος ανθρώπων όπως ο Μάρκους ντι Σότοϊ μπαίνουν σε ενέργεια. Ναι, υπάρχει και πάθος στις παρουσιάσεις που κάνει, διότι θέλει να κάνει και τους άλλους να δουν αυτά που δεν φαίνονται και, όπως επιμένει, τα μαθηματικά μπορούν να μας κάνουν να τα δούμε. Και φέρνει ως παράδειγμα τη συμμετρία. «Τον αριθμό 5 τον έχετε δει ποτέ στην πραγματικότητα;» ρωτάει. Μόνο τις οπτικές του αναπαραστάσεις, αλλά μπορούμε και δουλεύουμε με αυτόν πολύ καλά. Το ίδιο γίνεται και με τη συμμετρία. Πέρα από κάποια σχήματα ή το ανθρώπινο κορμί, που λέμε ότι έχουν κάποιες φανερές συμμετρίες, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι μπορεί δύο αντικείμενα ή δύο σχέδια σε έναν τοίχο ενώ φαίνονται εντελώς διαφορετικά, να έχουν κάποιες «συμμετρίες» που μόνο χάρη στα μαθηματικά μπορούμε να τις ανακαλύψουμε. Το ερευνητικό έργο του συνίσταται ακριβώς στο να «δημιουργεί» οντότητες με συμμετρία σε χώρους με διαστάσεις περισσότερες από τις τρεις. Στις διαλέξεις του μάλιστα προτρέπει το κοινό να ανακαλύψει νέα τέτοια «τέρατα», και αυτό θα κάνει μεταξύ άλλων και στο Μέγαρο.
Πρώτοι αριθμοί και ποδόσφαιρο
Εχει αναπτύξει ολόκληρη θεωρία για το πόσο καλά έκανε ο Μπέκαμ και διάλεξε, όταν πήγε στη Ρεάλ, τον αριθμό 23, που ήταν πρώτος αριθμός (άσχετα αν ο Μπέκαμ μπορεί να μην έχει ακόμη ιδέα σχετικά με το τι είναι οι πρώτοι αριθμοί και να διάλεξε τον ίδιο αριθμό με αυτόν που είχε στη φανέλα του ο Μάικλ Τζόρνταν), και έπεισε τη δική του ποδοσφαιρική ομάδα να αλλάξουν όλοι τους αριθμούς τους σε πρώτους για να πάρει η ομάδα τα πάνω της. Το άλλο πάθος του αποδείχθηκε πως είναι η συμμετρία.
Οπως εξήγησε, στη σύντομη συνομιλία μαζί του λίγο πριν από τη διάλεξή του στο Μέγαρο Μουσικής αύριο Δευτέρα, πιστεύει πως «ο εγκέφαλός μας μέσα από εξελικτικές διαδικασίες έφθασε να είναι πλέον προγραμματισμένος να κάνει μαθηματικά. Διότι έτσι μπορείς να επιζήσεις, γιατί όποιοι καταλάβαιναν λίγο περισσότερο από γεωμετρία ήταν όχι μόνο σε θέση να αποφεύγουν πράγματα που εκσφενδονίζονταν εναντίον τους αλλά και να πετυχαίνουν τον στόχο τους όταν εκείνοι έριχναν. Ηταν σε θέση να κάνουν υπολογισμούς για το αν οι εχθροί ήταν πιο πολυάριθμοι και να κρίνουν αν θα πολεμήσουν ή θα τραπούν σε φυγή. Αυτοί που μπορούσαν να κάνουν “μαθηματικούς” υπολογισμούς επιβίωναν». Στην παρατήρηση ότι οι Ελληνες έκαναν μαθηματικά και σε ειρηνικούς καιρούς απαντά: «Αυτό ακριβώς ήταν που έδωσε στους Ελληνες τεράστια δύναμη». Δυνατός είναι και ο ομιλητής της αυριανής βραδιάς. Μην τον χάστε. Ή, αν τον χάσετε, διαβάστε κάποιο από τα βιβλία του.
ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Π ρώτοι αριθμοί είναι εκείνοι οι αριθμοί που δεν μπορούν να αναλυθούν σε άλλους πιο μικρούς ακέραιους ή αλλιώς αυτοί που δεν μπορείς να βρεις έναν αριθμό μικρότερο και να τουςδιαιρέσεις ακριβώς. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 13 ή 17 είναι πρώτοι, ενώ ο 12 (=3Χ4) ή ο 18 (=3Χ6) δεν είναι. Αυτό είναι κάτι που αφήνει τους περισσότερους ανθρώπους αδιάφορους, αν και από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων, όπως λέει ο Μάρκους ντι Σότοϊ, κατάλαβαν ότι είναι κάτι πολύ δυνατό αφού οι πρώτοι αριθμοί αποδείχθηκαν τελικά οι δομικοί λίθοι όλων των άλλων ακεραίων αριθμών. Είναι κάτι σαν τα άτομα που συγκροτούν τα κάθε είδους μόρια και τελικά τον κόσμο μας.
Οι πρώτοι αριθμοί καθώς αρχίζουμε να μετρούμε από το 1 και να προχωρούμε: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... φαίνεται σαν να έπεσαν από τον ουρανό ανάμεσα στους άλλους αριθμούς εντελώς τυχαία και αφρόντιστα. Αυτό όμως προβλημάτισε πολλούς και πολύ διάσημους μαθηματικούς. Ενας από αυτούς ήταν ο Γερμανός Riemann που βρήκε ότι κάποιοι αριθμητικοί σχηματισμοί, με την ονομασία Ζ-συναρτήσεις (το Ζ από τη γερμανική λέξη Ζahl που σημαίνει αριθμός), έφτιαχναν μια γέφυρα ανάμεσα στους πρώτους αριθμούς και στον κόσμο της γεωμετρίας. Κατάλαβε κάποια στιγμή ότι εκεί που η Ζ-συνάρτηση γίνεται μηδέν υπάρχει σημαντική πληροφορία για τη φύση των πρώτων αριθμών. Μέσα σε αυτό το «τοπίο των Ζ-συναρτήσεων», όπως το ονομάζει ο Ντι Σότοϊ, βρίσκοντας τα σημεία όπου από μία Ζ-συνάρτηση παίρνουμε μηδέν, ο Ρίμαν διαπίστωσε με έκπληξη ότι αντί να είναι όπως τύχει, βρισκόταν επάνω σε μία ευθεία γραμμή και αυτό δεν μπορούσε να είναι σύμπτωση. Διατύπωσε λοιπόν μια υπόθεση, που ήθελε πάντως και απόδειξη, ότι δηλαδή οι πρώτοι αριθμοί θα βρίσκονται όλοι πάνω σε αυτή τη γραμμή. Και όπως παραστατικά το διατύπωσε ο Ντι Σότοϊ «συμπεριφέρονται σαν τα μόρια ενός αερίου σε κλειστό χώρο. Αν και δεν ξέρεις πού βρίσκονται ακριβώς, μπορείς να είσαι βέβαιος ότι είναι κατανεμημένα αρκετά κανονικά στον χώρο».
Πολλά θεωρήματα θα έβγαιναν πράγματι σωστά αν ίσχυε η Υπόθεση του Ρίμαν. Πέρασε ένας αιώνας και παραπάνω χωρίς να συμβεί κάτι το συνταρακτικό. Φθάσαμε στο 1972, όπου συναντήθηκαν ο άγγλος φυσικός Φαρίμαν Ντάισον και ο μαθηματικός Χιου Μοντγκόμερι πάνω από δύο φλιτζάνια με αχνιστό τσάι στο Πρίστον. Πάνω στη συζήτηση ανακάλυψαν ότι μια σειρά από πρώτους αριθμούς που έβγαιναν από μια Ζ-συνάρτηση συνέπιπτε ακριβώς με τις ενεργειακές στάθμες ενός ατόμου του στοιχείου Ερβιο (Νο 68 στον Περιοδικό Πίνακα Στοιχείων) όπως αυτές μπορούσαν να προβλεφθούν με βάση τις εξισώσεις της Κβαντικής Μηχανικής. Ετσι το 1996, όταν πια είχαν πειστεί ότι υπήρχε κάποια σχέση και οι φυσικοί, έπεσαν με τα μούτρα στο πρόβλημα για να φωτίσουν και τους μαθηματικούς. Τελικά επιβεβαιώθηκε από τους Κίτινγκ και Σνάιθ ότι η Υπόθεση Ρίμαν ήταν σωστή και ότι υπήρχε σχέση ανάμεσα στην κατανομή των πρώτων αριθμών μέσα στο πλήθος των υπολοίπων ακεραίων αριθμών και στις ενεργειακές στάθμες, συνδέοντας έτσι τη φυσική με τα μαθηματικά και τονίζοντας για άλλη μια φορά τη σημασία των πρώτων αριθμών.
ΠΟΙΟΣ ΕΙΝΑΙ Ο ΜARCUS DU SAUTOY
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ στις 26 Αυγούστου του 1965 στο Λονδίνο.Εχει όμως γαλλική ρίζα αφού κάποιος πρόγονός του το 1715 πιάστηκε αιχμάλωτος από τους Αγγλους,οδηγήθηκε στην Αγγλία και έμεινε εκεί για πάντα.Οταν ήταν μικρό παιδί ήθελε να γίνει κατάσκοπος και ξεκίνησε να μαθαίνει πολλές γλώσσες για να κάνει διεθνή καριέρα.Διαπίστωσε όμως ότι οι πολλές γλώσσες έφερναν μαζί τους και πολλές γραμματικές και συντακτικές εξαιρέσεις,και αυτό του ήταν πολύ κουραστικό.Ετσι όταν κάποτε βρέθηκε σε ένα μεγάλο πανεπιστημιακό βιβλιοπωλείο και έφυγε από εκεί με μια μεγάλη σακούλα γεμάτη βιβλία μαθηματικών,φθάνοντας στο σπίτι είχε καταλάβει ότι η γλώσσα των αριθμών ήταν αυτό που του ταίριαζε πιο πολύ από όλα και αφιερώθηκε σε αυτήν.Σπούδασε με υποτροφία και ταυτόχρονα ασχολήθηκε με τη μουσική.Σήμερα είναι καθηγητής των Μαθηματικών με αντικείμενο έρευνας τη Θεωρία Ομάδων,αλλά και πολύ καλός τρομπετίστας.Διαδέχθηκε τον Δεκέμβριο του 2008 στην Οξφόρδη τον Richard Dawkins στη φημισμένη έδρα Charles Simonyi που δίδεται σε όποιον με το επιστημονικό έργο του αλλά και με την προσωπικότητά του πείθει ότι θα εργαστεί για να κατανοήσει ο κόσμος την αξία της επιστήμης.Το 2001 βραβεύθηκε για την έρευνά του με το ανώτατο βραβείο που δίδεται σε μαθηματικούς κάτω των 40 ετών,αλλά εκτός αυτού έγινε γνωστός και για μια σειρά τεσσάρων επεισοδίων με τίτλο «Η ιστορία των μαθηματικών» που έκανε με το ΒΒC.
Είναι παντρεμένος και πατέρας τριών παιδιών,εκ των οποίων τα δύο είναι υιοθετημένα.Εκτός από τα μαθηματικά και τη μουσική, τον ενδιαφέρει πολύ το ποδόσφαιρο και το θέατρο.Τα ξέρει καλά και τα δύο,είναι οπαδός της Αρσεναλ,δηλώνει άθεος,έχει εντυπωσιάσει ακόμη και τους συμπατριώτες του για το εκκεντρικό ως και κακόγουστο ντύσιμό του και έχει γράψει ένα θεατρικό έργο γύρω από τη ζωή του ινδού μαθηματικού Ραμανουτζάν.
Στα ελληνικά κυκλοφορούν τα βιβλία του «Η μουσική των πρώτων αριθμών» και «Η Θεωρία ομάδων» από τις εκδόσεις Τραυλός. Η θεωρία των ομάδων
Eκτός από την Αρσεναλ και τη δική του, τον αυριανό ομιλητή απασχολούν και κάποιες άλλες ομάδες. Γενικά στα μαθηματικά, όταν κάνουμε λόγο για μια ομάδα, εννοούμε ότι έχουμε ένα σύνολο από πράγματα, μαζί και «μια πράξη», όπως λέμε, δηλαδή έναν τρόπο για το πώς θα μεταχειριζόμαστε τα πράγματα αυτά και κάποιες απαραίτητες προδιαγραφές. Ετσι μία από τις πρώτες ομάδες που έχουμε συναντήσει από τα μαθητικά μας κιόλας χρόνια είναι ένα σύνολο από αριθμούς με κανόνα το πώς θα τους προσθέτουμε ή θα τους πολλαπλασιάζουμε, όπου οι προδιαγραφές εκεί ήταν να υπάρχει το μηδενικό στοιχείο, ο πολλαπλασιασμός με τη μονάδα, η πρόσθεση που μπορεί να γίνει με οποιαδήποτε σειρά και το ότι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δίνει και πάλι αριθμό.
Ωστόσο οι άνθρωποι δεν σταμάτησαν εκεί. Αρχισαν να βλέπουν ομάδες και σε άλλα πράγματα. Για παράδειγμα, υπάρχει ολόκληρη θεωρία για το πώς μπορούμε να έχουμε ένα πρόγραμμα κινήσεων ώστε να γυρίζουμε στη διάρκεια του έτους το στρώμα μας προς όλες τις κατευθύνσεις κάθε τρεις μήνες. Οι περιστροφές που μπορούν να γίνουν ώστε κάθε φορά το μαξιλάρι μας να είναι σε μια διαφορετική κορυφή από τις τέσσερις του στρώματος αποτελούν μια ομάδα. Και τελικά οι κατασκευαστές με τη βοήθεια των μαθηματικών ανακάλυψαν ότι αν στις δύο μεγάλες πλευρές του στρώματος το ύφασμα έχει παράλληλες ραβδώσεις αλλά κάθετες μεταξύ τους, αρκεί κάθε φορά να κάνουμε τέτοιες περιστροφές στο στρώμα ώστε να είναι η κίνησή του παράλληλη με τις ραβδώσεις για να πετυχαίνουμε τη σωστή σειρά αλλαγών. Βέβαια η θεωρία των ομάδων έχει βοηθήσει και σε πολύ πιο σοβαρά θέματα, όπως είναι η Θεωρία των Στοιχειωδών Σωματίων και η Φυσιολογία των Ιών που μας κάνουν και αρρωσταίνουμε. Και όλα αυτά ξεκίνησαν από την ανακάλυψη ότι όπως ισχύει για τη διαίρεση των αριθμών έτσι και κάθε συμμετρικό αντικείμενο μπορεί να διαιρεθεί σε μικρότερα που το σύνολο των συμμετριών τους να μη διαιρείται ακριβώς. Η συμμετρία ενός αντικειμένου είναι όλα εκείνα που μπορούμε να κάνουμε σε αυτό διατηρώντας την όψη του απαράλλακτη. Οπως λοιπόν οι πρώτοι αριθμοί είναι οι δομικοί λίθοι των άλλων αριθμών, υπάρχουν και οι βασικές ομάδες συμμετριών που με αυτές οικοδομούνται όλα τα συμμετρικά αντικείμενα. Οπως είπε ο Ντι Σότοϊ «οι άνθρωποι και τα ζώα ενστικτωδώς διαλέγουν και αγαπούν τα συμμετρικά αντικείμενα».
Δημοσιεύτηκε στο ΒΗΜΑ 21-3-2010
Αύριο Δευτέρα 22 Μαρτίου, ώρα 7 μ.μ., στη σειρά των εκδηλώσεων Μegaron-Ρlus είναι προγραμματισμένη η ομιλία του Μάρκους ντι Σότοϊ, ενός Αγγλου με πολλά ταλέντα, όχι μόνο στα μαθηματικά αλλά και στη μουσική, στο θέατρο, ακόμη και στο ποδόσφαιρο. Το πάθος του για τους πρώτους αριθμούς, τη συμμετρία και την εκλαΐκευση της επιστήμης μοιράστηκε μαζί μας ο σημαντικός αυτός μαθηματικός
ΤΟΥ Α.ΓΑΛΔΑΔΑ | Κυριακή 21 Μαρτίου 2010
Αν ρωτήσεις τον κ. Ντι Σότοϊ, έναν από τους γνωστότερους μαθηματικούς της Αγγλίας, για τον Μπέκαμ ή την Αρσεναλ, δεν θα θυμώσει ούτε θα σνομπάρει. Εχει πολλά να σου πει και μιλάει πρόθυμα γι΄ αυτά. Επίσης, μπορείς να ανοίξεις μια ενδιαφέρουσα συζήτηση μαζί του για τον Θεό. Μην αρχίσεις μόνο να τον ρωτάς τι χρειάζεται η επιστήμη στους ανθρώπους, όπως έκανε κάποιος παρουσιαστής σε ένα τηλεοπτικό πρόγραμμα και τον έκανε κυριολεκτικά... βαπόρι. «Υπάρχει μια όρεξη μεγάλη εκεί έξω στο κοινό για επιστήμη, ο κόσμος θέλει να βγει από τα συνηθισμένα που του δίνουν τα τηλεοπτικά και ραδιοφωνικά προγράμματα, θέλει να του κινήσεις το ενδιαφέρον. Πρέπει και η επιστημονική κοινότητα να παρακινηθεί για να εξηγήσει στην κοινωνία τι είναι το σημαντικό με την επιστήμη» δηλώνει μετά την τρομερή επιτυχία της τηλεοπτικής σειράς που επιμελήθηκε σχετικά με την ιστορία των μαθηματικών. Και προς αυτή την κατεύθυνση έχει κάνει μεγάλες προσπάθειες όχι μόνο με τις αρκετά θεαματικές ομιλίες του αλλά και με την ομάδα φοιτητών που έχει δημιουργήσει και ονομάσει Μarcus Μathemagicians, μαθητές του και στην επιστήμη αλλά και στο να κάνουν τα παιδιά να τους παρακολουθούν με ανοικτό το στόμα όταν τους παρουσιάζουν τα μαθηματικά σαν να είναι το πιο ωραίο παιχνίδι. Οι παραστάσεις των Μathemagicians στα σχολεία είναι δωρεάν και αυτός που προσκαλεί έχει να πληρώσει μόνο για τα ναύλα και το φαγητό.
Θέλει: «Να πάψουμε να χωρίζουμε και να βάζουμε σε κουτάκια τα μαθηματικά. Επίσης, να πάψουμε να δημιουργούμε αυτή την εντύπωση, που επηρέασε πολύ τα προηγούμενα χρόνια και τις γυναίκες, πως οι άνδρες μόνο κάνουν μαθηματικά. Ούτε πλέον ισχύει ο διαχωρισμός που είχε γίνει πριν από 50 χρόνια από τον C. Ρ. Snow στο κλασικό βιβλίο του “Οι δύο κουλτούρες”, όπου επέμενε ότι στην κοινωνία μας θα είσαι ή των Θετικών ή των Ανθρωπιστικών Επιστημών. Εγώ, λέει, δούλεψα με έναν θίασο για το έργο γύρω από τον μαθηματικό Ραμανουτζάν και οι ηθοποιοί με ρωτούσαν για προχωρημένα μαθηματικά, οπότε έπρεπε να τους κάνω κανονικό μάθημα. Και πριν από λίγο, στην ομάδα που παίζω ποδόσφαιρο, αν και κανείς δεν ασχολείται με την επιστήμη, υπήρχε μεγάλος προβληματισμός για τη λειτουργία του επιταχυντή στο CΕRΝ και καθήσαμε και το συζητήσαμε». Μαθηματικά... σαν μουσική
Δομικοί λίθοι όλων των ακεραίων αριθμών, οι πρώτοι αριθμοί αποδεικνύεται ότι είναι για το αριθμητικό μας σύστημα ό,τι τα άτομα για την ύλη
Στην κλασική ερώτηση αν τα μαθηματικά υπάρχουν και τα ανακαλύπτουμε κάποια στιγμή ή τα εφευρίσκουμε, όπως έχουμε εφεύρει το ψαλίδι ή το κανόνι, δεν καταλαμβάνεται από την παραμικρή αμηχανία. «Μου έχουν κάνει τόσες φορές αυτή την ερώτηση. Είναι σαν τη σύνθεση ενός μουσικού κομματιού. Υπάρχουν αναρίθμητοι συνδυασμοί από τις διάφορες νότες και τους ρυθμούς. Εσύ από αυτούς διαλέγεις κάτι. Στην αρχή είναι ανακάλυψη και, στη συνέχεια, από όσα ανακαλύπτεις πως υπάρχουν διαλέγεις ό,τι νομίζεις πιο καλό». Ετσι και τα μαθηματικά, είναι ανακάλυψη και εφεύρεση. Και άλλη μια φορά αυτό επαναλαμβάνεται όταν πρέπει να το εξηγήσεις σε παιδιά ή σε μεγάλους που δεν είναι οι γνώσεις τους τόσο προχωρημένες ώστε να το καταλάβουν μόνοι τους. Τότε η φαντασία και το πάθος ανθρώπων όπως ο Μάρκους ντι Σότοϊ μπαίνουν σε ενέργεια. Ναι, υπάρχει και πάθος στις παρουσιάσεις που κάνει, διότι θέλει να κάνει και τους άλλους να δουν αυτά που δεν φαίνονται και, όπως επιμένει, τα μαθηματικά μπορούν να μας κάνουν να τα δούμε. Και φέρνει ως παράδειγμα τη συμμετρία. «Τον αριθμό 5 τον έχετε δει ποτέ στην πραγματικότητα;» ρωτάει. Μόνο τις οπτικές του αναπαραστάσεις, αλλά μπορούμε και δουλεύουμε με αυτόν πολύ καλά. Το ίδιο γίνεται και με τη συμμετρία. Πέρα από κάποια σχήματα ή το ανθρώπινο κορμί, που λέμε ότι έχουν κάποιες φανερές συμμετρίες, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι μπορεί δύο αντικείμενα ή δύο σχέδια σε έναν τοίχο ενώ φαίνονται εντελώς διαφορετικά, να έχουν κάποιες «συμμετρίες» που μόνο χάρη στα μαθηματικά μπορούμε να τις ανακαλύψουμε. Το ερευνητικό έργο του συνίσταται ακριβώς στο να «δημιουργεί» οντότητες με συμμετρία σε χώρους με διαστάσεις περισσότερες από τις τρεις. Στις διαλέξεις του μάλιστα προτρέπει το κοινό να ανακαλύψει νέα τέτοια «τέρατα», και αυτό θα κάνει μεταξύ άλλων και στο Μέγαρο.
Πρώτοι αριθμοί και ποδόσφαιρο
Εχει αναπτύξει ολόκληρη θεωρία για το πόσο καλά έκανε ο Μπέκαμ και διάλεξε, όταν πήγε στη Ρεάλ, τον αριθμό 23, που ήταν πρώτος αριθμός (άσχετα αν ο Μπέκαμ μπορεί να μην έχει ακόμη ιδέα σχετικά με το τι είναι οι πρώτοι αριθμοί και να διάλεξε τον ίδιο αριθμό με αυτόν που είχε στη φανέλα του ο Μάικλ Τζόρνταν), και έπεισε τη δική του ποδοσφαιρική ομάδα να αλλάξουν όλοι τους αριθμούς τους σε πρώτους για να πάρει η ομάδα τα πάνω της. Το άλλο πάθος του αποδείχθηκε πως είναι η συμμετρία.
Οπως εξήγησε, στη σύντομη συνομιλία μαζί του λίγο πριν από τη διάλεξή του στο Μέγαρο Μουσικής αύριο Δευτέρα, πιστεύει πως «ο εγκέφαλός μας μέσα από εξελικτικές διαδικασίες έφθασε να είναι πλέον προγραμματισμένος να κάνει μαθηματικά. Διότι έτσι μπορείς να επιζήσεις, γιατί όποιοι καταλάβαιναν λίγο περισσότερο από γεωμετρία ήταν όχι μόνο σε θέση να αποφεύγουν πράγματα που εκσφενδονίζονταν εναντίον τους αλλά και να πετυχαίνουν τον στόχο τους όταν εκείνοι έριχναν. Ηταν σε θέση να κάνουν υπολογισμούς για το αν οι εχθροί ήταν πιο πολυάριθμοι και να κρίνουν αν θα πολεμήσουν ή θα τραπούν σε φυγή. Αυτοί που μπορούσαν να κάνουν “μαθηματικούς” υπολογισμούς επιβίωναν». Στην παρατήρηση ότι οι Ελληνες έκαναν μαθηματικά και σε ειρηνικούς καιρούς απαντά: «Αυτό ακριβώς ήταν που έδωσε στους Ελληνες τεράστια δύναμη». Δυνατός είναι και ο ομιλητής της αυριανής βραδιάς. Μην τον χάστε. Ή, αν τον χάσετε, διαβάστε κάποιο από τα βιβλία του.
ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Π ρώτοι αριθμοί είναι εκείνοι οι αριθμοί που δεν μπορούν να αναλυθούν σε άλλους πιο μικρούς ακέραιους ή αλλιώς αυτοί που δεν μπορείς να βρεις έναν αριθμό μικρότερο και να τουςδιαιρέσεις ακριβώς. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 13 ή 17 είναι πρώτοι, ενώ ο 12 (=3Χ4) ή ο 18 (=3Χ6) δεν είναι. Αυτό είναι κάτι που αφήνει τους περισσότερους ανθρώπους αδιάφορους, αν και από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων, όπως λέει ο Μάρκους ντι Σότοϊ, κατάλαβαν ότι είναι κάτι πολύ δυνατό αφού οι πρώτοι αριθμοί αποδείχθηκαν τελικά οι δομικοί λίθοι όλων των άλλων ακεραίων αριθμών. Είναι κάτι σαν τα άτομα που συγκροτούν τα κάθε είδους μόρια και τελικά τον κόσμο μας.
Οι πρώτοι αριθμοί καθώς αρχίζουμε να μετρούμε από το 1 και να προχωρούμε: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... φαίνεται σαν να έπεσαν από τον ουρανό ανάμεσα στους άλλους αριθμούς εντελώς τυχαία και αφρόντιστα. Αυτό όμως προβλημάτισε πολλούς και πολύ διάσημους μαθηματικούς. Ενας από αυτούς ήταν ο Γερμανός Riemann που βρήκε ότι κάποιοι αριθμητικοί σχηματισμοί, με την ονομασία Ζ-συναρτήσεις (το Ζ από τη γερμανική λέξη Ζahl που σημαίνει αριθμός), έφτιαχναν μια γέφυρα ανάμεσα στους πρώτους αριθμούς και στον κόσμο της γεωμετρίας. Κατάλαβε κάποια στιγμή ότι εκεί που η Ζ-συνάρτηση γίνεται μηδέν υπάρχει σημαντική πληροφορία για τη φύση των πρώτων αριθμών. Μέσα σε αυτό το «τοπίο των Ζ-συναρτήσεων», όπως το ονομάζει ο Ντι Σότοϊ, βρίσκοντας τα σημεία όπου από μία Ζ-συνάρτηση παίρνουμε μηδέν, ο Ρίμαν διαπίστωσε με έκπληξη ότι αντί να είναι όπως τύχει, βρισκόταν επάνω σε μία ευθεία γραμμή και αυτό δεν μπορούσε να είναι σύμπτωση. Διατύπωσε λοιπόν μια υπόθεση, που ήθελε πάντως και απόδειξη, ότι δηλαδή οι πρώτοι αριθμοί θα βρίσκονται όλοι πάνω σε αυτή τη γραμμή. Και όπως παραστατικά το διατύπωσε ο Ντι Σότοϊ «συμπεριφέρονται σαν τα μόρια ενός αερίου σε κλειστό χώρο. Αν και δεν ξέρεις πού βρίσκονται ακριβώς, μπορείς να είσαι βέβαιος ότι είναι κατανεμημένα αρκετά κανονικά στον χώρο».
Πολλά θεωρήματα θα έβγαιναν πράγματι σωστά αν ίσχυε η Υπόθεση του Ρίμαν. Πέρασε ένας αιώνας και παραπάνω χωρίς να συμβεί κάτι το συνταρακτικό. Φθάσαμε στο 1972, όπου συναντήθηκαν ο άγγλος φυσικός Φαρίμαν Ντάισον και ο μαθηματικός Χιου Μοντγκόμερι πάνω από δύο φλιτζάνια με αχνιστό τσάι στο Πρίστον. Πάνω στη συζήτηση ανακάλυψαν ότι μια σειρά από πρώτους αριθμούς που έβγαιναν από μια Ζ-συνάρτηση συνέπιπτε ακριβώς με τις ενεργειακές στάθμες ενός ατόμου του στοιχείου Ερβιο (Νο 68 στον Περιοδικό Πίνακα Στοιχείων) όπως αυτές μπορούσαν να προβλεφθούν με βάση τις εξισώσεις της Κβαντικής Μηχανικής. Ετσι το 1996, όταν πια είχαν πειστεί ότι υπήρχε κάποια σχέση και οι φυσικοί, έπεσαν με τα μούτρα στο πρόβλημα για να φωτίσουν και τους μαθηματικούς. Τελικά επιβεβαιώθηκε από τους Κίτινγκ και Σνάιθ ότι η Υπόθεση Ρίμαν ήταν σωστή και ότι υπήρχε σχέση ανάμεσα στην κατανομή των πρώτων αριθμών μέσα στο πλήθος των υπολοίπων ακεραίων αριθμών και στις ενεργειακές στάθμες, συνδέοντας έτσι τη φυσική με τα μαθηματικά και τονίζοντας για άλλη μια φορά τη σημασία των πρώτων αριθμών.
ΠΟΙΟΣ ΕΙΝΑΙ Ο ΜARCUS DU SAUTOY
ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ στις 26 Αυγούστου του 1965 στο Λονδίνο.Εχει όμως γαλλική ρίζα αφού κάποιος πρόγονός του το 1715 πιάστηκε αιχμάλωτος από τους Αγγλους,οδηγήθηκε στην Αγγλία και έμεινε εκεί για πάντα.Οταν ήταν μικρό παιδί ήθελε να γίνει κατάσκοπος και ξεκίνησε να μαθαίνει πολλές γλώσσες για να κάνει διεθνή καριέρα.Διαπίστωσε όμως ότι οι πολλές γλώσσες έφερναν μαζί τους και πολλές γραμματικές και συντακτικές εξαιρέσεις,και αυτό του ήταν πολύ κουραστικό.Ετσι όταν κάποτε βρέθηκε σε ένα μεγάλο πανεπιστημιακό βιβλιοπωλείο και έφυγε από εκεί με μια μεγάλη σακούλα γεμάτη βιβλία μαθηματικών,φθάνοντας στο σπίτι είχε καταλάβει ότι η γλώσσα των αριθμών ήταν αυτό που του ταίριαζε πιο πολύ από όλα και αφιερώθηκε σε αυτήν.Σπούδασε με υποτροφία και ταυτόχρονα ασχολήθηκε με τη μουσική.Σήμερα είναι καθηγητής των Μαθηματικών με αντικείμενο έρευνας τη Θεωρία Ομάδων,αλλά και πολύ καλός τρομπετίστας.Διαδέχθηκε τον Δεκέμβριο του 2008 στην Οξφόρδη τον Richard Dawkins στη φημισμένη έδρα Charles Simonyi που δίδεται σε όποιον με το επιστημονικό έργο του αλλά και με την προσωπικότητά του πείθει ότι θα εργαστεί για να κατανοήσει ο κόσμος την αξία της επιστήμης.Το 2001 βραβεύθηκε για την έρευνά του με το ανώτατο βραβείο που δίδεται σε μαθηματικούς κάτω των 40 ετών,αλλά εκτός αυτού έγινε γνωστός και για μια σειρά τεσσάρων επεισοδίων με τίτλο «Η ιστορία των μαθηματικών» που έκανε με το ΒΒC.
Είναι παντρεμένος και πατέρας τριών παιδιών,εκ των οποίων τα δύο είναι υιοθετημένα.Εκτός από τα μαθηματικά και τη μουσική, τον ενδιαφέρει πολύ το ποδόσφαιρο και το θέατρο.Τα ξέρει καλά και τα δύο,είναι οπαδός της Αρσεναλ,δηλώνει άθεος,έχει εντυπωσιάσει ακόμη και τους συμπατριώτες του για το εκκεντρικό ως και κακόγουστο ντύσιμό του και έχει γράψει ένα θεατρικό έργο γύρω από τη ζωή του ινδού μαθηματικού Ραμανουτζάν.
Στα ελληνικά κυκλοφορούν τα βιβλία του «Η μουσική των πρώτων αριθμών» και «Η Θεωρία ομάδων» από τις εκδόσεις Τραυλός. Η θεωρία των ομάδων
Eκτός από την Αρσεναλ και τη δική του, τον αυριανό ομιλητή απασχολούν και κάποιες άλλες ομάδες. Γενικά στα μαθηματικά, όταν κάνουμε λόγο για μια ομάδα, εννοούμε ότι έχουμε ένα σύνολο από πράγματα, μαζί και «μια πράξη», όπως λέμε, δηλαδή έναν τρόπο για το πώς θα μεταχειριζόμαστε τα πράγματα αυτά και κάποιες απαραίτητες προδιαγραφές. Ετσι μία από τις πρώτες ομάδες που έχουμε συναντήσει από τα μαθητικά μας κιόλας χρόνια είναι ένα σύνολο από αριθμούς με κανόνα το πώς θα τους προσθέτουμε ή θα τους πολλαπλασιάζουμε, όπου οι προδιαγραφές εκεί ήταν να υπάρχει το μηδενικό στοιχείο, ο πολλαπλασιασμός με τη μονάδα, η πρόσθεση που μπορεί να γίνει με οποιαδήποτε σειρά και το ότι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δίνει και πάλι αριθμό.
Ωστόσο οι άνθρωποι δεν σταμάτησαν εκεί. Αρχισαν να βλέπουν ομάδες και σε άλλα πράγματα. Για παράδειγμα, υπάρχει ολόκληρη θεωρία για το πώς μπορούμε να έχουμε ένα πρόγραμμα κινήσεων ώστε να γυρίζουμε στη διάρκεια του έτους το στρώμα μας προς όλες τις κατευθύνσεις κάθε τρεις μήνες. Οι περιστροφές που μπορούν να γίνουν ώστε κάθε φορά το μαξιλάρι μας να είναι σε μια διαφορετική κορυφή από τις τέσσερις του στρώματος αποτελούν μια ομάδα. Και τελικά οι κατασκευαστές με τη βοήθεια των μαθηματικών ανακάλυψαν ότι αν στις δύο μεγάλες πλευρές του στρώματος το ύφασμα έχει παράλληλες ραβδώσεις αλλά κάθετες μεταξύ τους, αρκεί κάθε φορά να κάνουμε τέτοιες περιστροφές στο στρώμα ώστε να είναι η κίνησή του παράλληλη με τις ραβδώσεις για να πετυχαίνουμε τη σωστή σειρά αλλαγών. Βέβαια η θεωρία των ομάδων έχει βοηθήσει και σε πολύ πιο σοβαρά θέματα, όπως είναι η Θεωρία των Στοιχειωδών Σωματίων και η Φυσιολογία των Ιών που μας κάνουν και αρρωσταίνουμε. Και όλα αυτά ξεκίνησαν από την ανακάλυψη ότι όπως ισχύει για τη διαίρεση των αριθμών έτσι και κάθε συμμετρικό αντικείμενο μπορεί να διαιρεθεί σε μικρότερα που το σύνολο των συμμετριών τους να μη διαιρείται ακριβώς. Η συμμετρία ενός αντικειμένου είναι όλα εκείνα που μπορούμε να κάνουμε σε αυτό διατηρώντας την όψη του απαράλλακτη. Οπως λοιπόν οι πρώτοι αριθμοί είναι οι δομικοί λίθοι των άλλων αριθμών, υπάρχουν και οι βασικές ομάδες συμμετριών που με αυτές οικοδομούνται όλα τα συμμετρικά αντικείμενα. Οπως είπε ο Ντι Σότοϊ «οι άνθρωποι και τα ζώα ενστικτωδώς διαλέγουν και αγαπούν τα συμμετρικά αντικείμενα».
Τετάρτη 17 Μαρτίου 2010
Τρίτη 16 Μαρτίου 2010
Αβάκιο-Χελωνόκοσμος
Αν πληκτρολογήσετε στο Google "E-slate" μεταξύ των άλλων θα σας εμφανίσει και τη διεύθυνση του Εργαστηρίου Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας του Πανεπιστημίου Αθηνών. Δηλαδή την :
http://etl.ppp.uoa.gr/_content/download/index_download.htm
Όταν την ανοίξετε και επιλέξετε "Ελληνικά" θα δείτε την παρακάτω εικόνα.
ΚΑΤΕΒΑΣΤΕ ΠΡΩΤΑ ΤΙΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ
ΘΑ ΔΙΑΒΑΣΕΤΕ ΤΟΤΕ:
ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Κατεβάστε και τον ΧΕΛΩΝΟΚΟΣΜΟ
(Αυτό δεν πρέπει να είναι συμπιεσμένο - ΒΑΛΤΕ τον στον ίδιο φάκελλο με το ABAKIO)
http://etl.ppp.uoa.gr/_content/download/index_download.htm
Όταν την ανοίξετε και επιλέξετε "Ελληνικά" θα δείτε την παρακάτω εικόνα.
ΚΑΤΕΒΑΣΤΕ ΠΡΩΤΑ ΤΙΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ
ΘΑ ΔΙΑΒΑΣΕΤΕ ΤΟΤΕ:
1. Κατεβάστε το συμπιεσμένο αρχείο εγκατάστασης του Αβακίου 2.
2. Αποσυμπιέστε τα περιεχόμενα του αρχείου σε φάκελο της επιλογής σας.
3. Εκτελέστε το αρχείο Eslate Setup.exe
ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Κατεβάστε και τον ΧΕΛΩΝΟΚΟΣΜΟ
Ανακοίνωση
Λοιπόν, παιδιά ο Κ. Αφορδακός δημιούργησε το τετράγωνο στα χελωνονιτζάκια με πλευρά 50.
Οι εντολές που έγραψε είναι:
μ 50
δ 90
μ 50
δ 90
μ 50
δ 90
μ 90
δ 90
Οι εντολές που έγραψε είναι:
μ 50
δ 90
μ 50
δ 90
μ 50
δ 90
μ 90
δ 90
Ανακοίνωση
Ο Κωνσταντίνος Αφορδακός του Α2 κατάφερε πρώτος και εγκατέστησε το Αβάκιο και τον Χελωνόκοσμο και έδωσε εντολές γεωμετρίας στη χελώνα!
Πήρε ακόμα οδηγίες για να κατασκευάσει με τη χελώνα τετράγωνο!
Πήρε ακόμα οδηγίες για να κατασκευάσει με τη χελώνα τετράγωνο!
Σάββατο 13 Μαρτίου 2010
Αχμές, ο γιός του φεγγαριού
Η παρακάτω συνέντευξη δημοσιεύτηκε στα ΝΕΑ της Πέμπτης 11 Μαρτίου στη στήλη 20 Ερωτήσεις και την έκανε η Κατερίνα Παπακώστα.
Σχετικά: «ΤΑ ΝΕΑ»
Το δεύτερο βιβλίο του, «Αχμές, ο γιος του φεγγαριού», κυκλοφόρησε το 2009. Η μαθηματική λογοτεχνία είναι για τον Τεύκρο Μιχαηλίδη ένα ρεύμα που θα διαρκέσει. Προσφέρει, όπως χαρακτηριστικά λέει, «γνώση, προβληματισμό και ονειροπόληση». Είναι ευχαριστημένος με τη διεθνή απήχηση ενός ελληνικού βιβλίου του είδους, του «Logicomix» ενώ δηλώνει πως αν και προσδοκούσε κάποια απήχηση, δεν περίμενε ποτέ την ευρεία αποδοχή που γνώρισε ο ίδιος από το ελληνικό κοινό. Τα Μαθηματικά κουβαλούν το στερεότυπο της δύσκολης κατανόησης, όμως αυτός θα συμβούλευε έναν κακό μαθητή να σκεφτεί μήπως απλά τον βολεύει να δηλώνει κακός.
1 Μαθηματικά. Γιατί δεν τα καταλαβαίνουμε όλοι;
Δεν είμαστε όλοι ίδιοι. Πράγματα που για κάποιους είναι εύκολα και κατανοητά για κάποιους άλλους είναι δυσνόητα και απρόσιτα. Τα Μαθηματικά απλώς ακολουθούν τον κανόνα. Επειδή όμως εδώ και χρόνια τους έχει φορτωθεί το ιδεολογικό προσάρτημα της «γνώσης για ευφυείς», η μη κατανόησή τους είναι πιο οδυνηρή και προκαλεί μεγαλύτερη απορία απ΄ ό,τι για παράδειγμα η μη κατανόηση των νομικών όρων ή της χρήσης του κατσαβιδιού.
2 «Η ουσία των Μαθηματικών είναι η ελευθερία» για τον Γκέοργκ Κάντορ. Δηλαδή;
Βασική προϋπόθεση της μαθηματικής- αλλά και της επιστημονικής γενικότερα- έρευνας είναι η δυνατότητα να εξετάζονται όλα τα ενδεχόμενα, ακόμα και αυτά που φαντάζουν παράλογα και αλλοπρόσαλλα. Το ηλιοκεντρικό σύστημα, οι αρνητικοί αριθμοί, η σχετικότητα, οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες λίγο πριν από την καθιέρωσή τους θεωρούνταν ιδέες και οντότητες εξωπραγματικές μέχρι και σατανικές. Νομίζω πως ο Κάντορ αυτήν ακριβώς την ελευθερία διεκδικεί: την ελευθερία της έρευνας χωρίς αγκυλώσεις και προκαταλήψεις.
3 Λογοτεχνία και επιστημονικός λόγος. Συνδυάζονται;
Ναι. Είναι δυο παράλληλες μορφές έκφρασης ιδεών.
4 Το σχόλιό σας για την παγκόσμια επιτυχία του «Logicomix»;
Να λοιπόν που κάποιοι Έλληνες είναι σε θέση και να παράγουν ουσιαστικό έργο και να διαπρέ πουν διεθνώς. 5 Η μαθηματική λογοτεχνία κερδίζει πιστούς. Πώς το εξηγείτε;
Η στροφή του κοινού προς τη λιτή, περιεκτική, ορθολογική μορφή της μαθηματικής λογοτεχνίας σηματοδοτεί την ταυτόχρονη απόρριψη εκ μέρους του της ξύλινης γλώσσας των πολιτικών και των διαφημιστών.
6 Είναι μόδα ή θα διαρκέσει αυτό το ενδιαφέρον του αναγνωστικού κοινού;
Θα διαρκέσει γιατί είναι ένα ρεύμα συμβατό με τα χαρακτηριστικά της εποχής μας.
7 Τι μπορεί να προσφέρει στον αναγνώστη;
Γνώση, προβληματισμό και ονειροπόληση.
8 Απλοποιεί ή υπεραπλουστεύει τη μαθηματική επιστήμη;
Την παρουσιάζει από μια διαφορετική σκοπιά.
9 Θα έπρεπε να μπει στην εκπαίδευση;
Θα μπορούσε να δώσει μια φρέσκια, δροσερή πνοή στην εκπαίδευση που κυριαρχείται τόσο από ξεπερασμένες ιδέες όσο και από την τεχνολογιολαγνεία.
10 Λέσχες ανάγνωσης μαθηματικής λογοτεχνίας στα σχολεία. Είχε τα αποτελέσματα που προσδοκούσατε η προσπάθεια;
Η ανταπόκριση εκπαιδευτικών και μαθητών ξεπέρασε κάθε προσδοκία μας.
11 Γιατί οι Έλληνες μαθητές εμφανίζονται μέτριοι στα Μαθηματικά σε σύγκριση με τους Ευρωπαίους;
Κυρίως επειδή τα κριτήρια με βάση τα οποία αξιολογούνται είναι προσαρμοσμένα στο αγγλοσαξονικό εκπαιδευτικό σύστημα. Δοκιμάστε να δώσετε σε Αγγλοαμερικανούς ή Φινλανδούς μαθητές τα θέματα των ελληνικών πανελληνίων εξετάσεων στα Μαθηματικά και να δείτε πώς θα γελάσουμε όλοι.
12 Ποια τα κύρια προβλήματα της διδασκαλίας των Μαθηματικών στην ελληνική Μέση Εκπαίδευση;
Τα Μαθηματικά στη Μέση Εκπαίδευση αποτελούν σήμερα περισσότερο μέσο κοινωνικής επιλογής παρά εργαλείο μόρφωσης και αγωγής.
13 Τι θα λέγατε σε έναν κακό στα Μαθηματικά μαθητή;
Ψάξε μέσα σου. Είσαι στ΄ αλήθεια κακός; Μήπως σ΄ έχουν πείσει πως είσαι κακός; Μήπως σε βολεύει να πιστεύεις πως είσαι κακός;
14 Κάποιοι θεωρούν τα Μαθηματικά ανδρική υπόθεση. Συμφωνείτε;
Διαφωνώ. Η προκατάληψη, οι κοινωνικές πιέσεις και ο σεξιστικός ρατσισμός συντηρούν αυτήν την ολότελα ανυπόστατη άποψη. 15 Ποια ήταν η πηγή έμπνευσής σας;
Η ανάγκη μου να ταξιδέψω στον χώρο και στον χρόνο.
16 Ετοιμάζετε κάποιο βιβλίο τώρα;
Ναι. Έχω στο μυαλό μου το γενικό πλάνο του βιβλίου, βρίσκομαι όμως ακόμα στο στάδιο της προκαταρκτικής έρευνας.
17 Έχετε συνεργαστεί με αρκετές εφημερίδες. Ποια ανάγκη σας ικανοποιούσε η αρθρογραφία;
Κυρίως την ανάγκη να διαβάσω την καθημερινότητα μέσα από τη ματιά των Μαθηματικών.
18 Έχετε μεταφράσει 22 βιβλία. Τα «συστατικά» μιας επιτυχημένης μετάφρασης;
Να βρεις μια ισορροπία ανάμεσα στην πιστότητα και την ομορφιά, τους δύο ανταγωνιστικούς πόλους σε κάθε μετάφραση.
19 Καθηγητής ή συγγραφέας. Ποιον ρόλο προτιμάτε;
Νομίζω ότι οι δύο ρόλοι μπορούν να συνυπάρξουν αρμονικά. Άλλωστε αν τους αναγάγουμε στον κοινό παρονομαστή «διακινητής ιδεών» θα μπορούσαν να θεωρηθούν ακόμα και ταυτόσημοι.
20 Περιμένατε την απήχηση των βιβλίων σας;
Όταν γράφω κάτι προσδοκώ να διαβαστεί. Πίστευα ότι τα μυθιστορήματά μου θα έχουν κάποια απήχηση, ομολογώ όμως ότι δεν την ανέμενα τόσο ευρεία.
Το ξέρετε;
Στα αμερικανικά η 14η Μαρτίου γράφεται 3/14. Ξέρετε τι γιορτάζεται αυτή τη μέρα; Ξέρετε τι συμβολίζει αυτό το 3/14;
Κυριακή 7 Μαρτίου 2010
Παρασκευή 5 Μαρτίου 2010
Χρυσός Λόγος
Χρυσός λόγος ή χρυσή τομή είναι το πηλίκο δυο θετικών όταν αυτό ισούται περίπου με 1,618. Ο λόγος αυτός δίνει αρμονικές αναλογίες και γι’ αυτό έχει χρησιμοποιηθεί στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, τόσο κατά την αρχαία Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση. Την χρυσή τομή εισήγαγε και υπολόγισε ο Πυθαγόρας, (585 - 500 π.Χ.) που γεννήθηκε στη Σάμο, και ίδρυσε σημαντικότατη φιλοσοφική σχολή στον Κρότωνα της Μεγάλης Ελλάδας (Κάτω Ιταλία). Ο λόγος αυτός, δηλαδή το 1,618, συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα Φ προς τιμήν του Φειδία, ίσως τον γνωστότερο γλύπτη της ελληνικής αρχαιότητας, και τον σημαντικότερο της κλασικής περιόδου, ο οποίος τον χρησιμοποίησε κατά κόρον.
Κυριακή 21 Φεβρουαρίου 2010
Σάββατο 20 Φεβρουαρίου 2010
Τρίτη 16 Φεβρουαρίου 2010
Υφαντική
Κιλίμι (2,15χ1,75) Κριτσάς Κρήτης. Συλλογή Τμήματος Αγ. Νικολάου Ελληνικής Περιηγητικής Λέσχης . Σήμερα εκτίθεται στο Λαογραφικό Μουσείο Αγίου Νικολάου.Αλλεπάλληλες σειρές πυκνών διακοσμητικών θεμάτων, με βάση το ρόμβο. Στις τρεις λωρίδες που απαρτίζουν το κιλίμι, οι ζώνες έχουν ανταπόκριση μεταξύ τους, αλλά η κατεύθυνση των θεμάτων δεν ακολουθεί κανέναν ρυθμό.
Υφαντική
Στα διάφορα διακοσμητικά θέματα της ελληνικής λαϊκής υφαντικής «ανιχνεύουμε αρχαιοελληνικές και βυζαντινές καταβολές και επιδράσεις από Ανατολή και Δύση, αντίστοιχες με τις ιστορικές περιπέτειες και τις πολιτισμικές επαφές του ελληνικού λαού.
Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα διάφορα διακοσμητικά στοιχεία και θέματα. Άλλοτε γεωμετρικά, άλλοτε για σχηματοποιημένες μορφές ανθρώπων, ζώων, φυτών αντικειμένων κλπ.
Πολλά γεωμετρικά «μπορεί να προέρχονται από μεγάλη αφαίρεση και σχηματοποίηση» κατά τον Κίτσο Μακρή. Η λέξη «σχηματοποίηση» είναι ενδεικτική, γράφει ο ίδιος. «Πρόκειται για διεργασία πολύ πιο σημαντική από την αναγωγή των μορφών σε απλά γεωμετρικά σχήματα, για κάτι περισσότερο από αφαίρεση, για μιαν επεξεργασία της αρχικής μορφής».
Δευτέρα 15 Φεβρουαρίου 2010
Μουσείο
Είναι ένα αυτόνομο κτηριακό συγκρότημα ή χώρος όπου φυλάσσονται,μελετώνται επιστημονικώς
και εκτίθενται σε κοινή θέση έργα τέχνης,αντικείμενα αναγνωρισμένης αξίας,αντικείμενα από το
παρελθόν ή με μορφωτικό ενδιαφέρον :αρχαιολογικό/ βυζαντινό/ παλαιοντολογικό/ πολεμικό/
θεατρικό.../ φυσικής ιστορίας/ λαϊκής τέχνης/ μουσικών οργάνων.
Λεξικό Μπαμπινιώτη, Γ' έκδοση
Το έστειλε ο Ραφαήλ Κοκολάκης
Λεξικό Μπαμπινιώτη, Γ' έκδοση
Το έστειλε ο Ραφαήλ Κοκολάκης
Τρίτη 2 Φεβρουαρίου 2010
Το τρίκυκλον
Ένας μαθητής έδωσε την απάντηση αυτή σε σχετική ερώτηση:
"Τρεις κύκλοι εφαπτόμενοι ο ένας με τον άλλον δημιουργούν τρίκυκλον".
Το έστειλε ο Κώστας Σπύρου
"Τρεις κύκλοι εφαπτόμενοι ο ένας με τον άλλον δημιουργούν τρίκυκλον".
Το έστειλε ο Κώστας Σπύρου
Τι είναι το εκτάριο;
Ο καθηγητής μαθηματικών ρώτησε: "Τι είναι το εκτάριο;"
και έλαβε την απάντηση:
-Αυτό που είναι μεταξύ του πενταρίου και του επταρίου!
Το έστειλε ο Κώστας Σπύρου
και έλαβε την απάντηση:
-Αυτό που είναι μεταξύ του πενταρίου και του επταρίου!
Το έστειλε ο Κώστας Σπύρου
Η σωστή απάντηση
Στο διαγώνισμα ο μαθηματικός έδωσε το παρακάτω σχήμα με την εξής εκφώνηση:
"Να βρείτε το χ στο παρακάτω σχήμα". Και ένας μαθητής παρέδωσε αυτό το γραπτό:
Το αλίευσε ο Κώστας Σπύρου
"Να βρείτε το χ στο παρακάτω σχήμα". Και ένας μαθητής παρέδωσε αυτό το γραπτό:
Το αλίευσε ο Κώστας ΣπύρουΠοιός γονιός θα το βάλει στη βιβλιοθήκη του;
"Πενήντα επικίνδυνα πράγματα" που πρέπει να αφήσετε τα παιδιά σας να κάνουν, είναι ο τίτλος βιβλίου που κυκλοφορεί στις ΗΠΑ.
Οι ειδικοί σχολιάζουν ότι υπάρχει σοβαρός λόγος οι γονείς να ενθαρρύνουν τα παιδιά τους να «βάλουν» λίγο ρίσκο στο παιχνίδι τους. Επισημαίνουν βέβαια ότι θα πρέπει να παίρνουν παράλληλα όλα τα απαραίτητα μέτρα για να προστατεύσουμε τα παιδιά από τον κίνδυνο, όσο γίνεται όμως πιο διακριτικά ώστε η προστασία να μην γίνεται υπερπροστασία.
Τα παιδιά, ισχυρίζονται ότι, δεν εκπαιδεύονται ώστε να μπορούν να κρίνουν σωστά τους κινδύνους, δηλαδή να αντιλαμβάνονται τη διαφορά μεταξύ του άγνωστου ή του ασυνήθιστου και του επικίνδυνου, όταν υπερπροστατεύονται.
Όλο το άρθρο δημοσιεύεται στο σημερινό (2-2-10) ΒΗΜΑ
Οι ειδικοί σχολιάζουν ότι υπάρχει σοβαρός λόγος οι γονείς να ενθαρρύνουν τα παιδιά τους να «βάλουν» λίγο ρίσκο στο παιχνίδι τους. Επισημαίνουν βέβαια ότι θα πρέπει να παίρνουν παράλληλα όλα τα απαραίτητα μέτρα για να προστατεύσουμε τα παιδιά από τον κίνδυνο, όσο γίνεται όμως πιο διακριτικά ώστε η προστασία να μην γίνεται υπερπροστασία.
Τα παιδιά, ισχυρίζονται ότι, δεν εκπαιδεύονται ώστε να μπορούν να κρίνουν σωστά τους κινδύνους, δηλαδή να αντιλαμβάνονται τη διαφορά μεταξύ του άγνωστου ή του ασυνήθιστου και του επικίνδυνου, όταν υπερπροστατεύονται.
Όλο το άρθρο δημοσιεύεται στο σημερινό (2-2-10) ΒΗΜΑ
Δευτέρα 1 Φεβρουαρίου 2010
Λαογραφικό Μουσείο Αγίου Νικολάου
Από την επίσκεψη των μαθητών στο Λαογραφικό Μουσείοκαι τη συνέντευξη που πήραν από τον εικονιζόμενο
κ. Στρατή Κουρουπάκη
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)
