Τα μαθηματικά της μη απότομης μετάβασης

Μια μέρα, την πρώτη ώρα που συνήθως ξεκινάμε το μάθημα 8.15, ένας μαθητής ήρθε 8.16 και παρακάλεσε να μπει στην τάξη.
Του επιτρέψαμε। Σε ένα λεπτό ήρθε ένας ακόμα και ζήτησε να μπει। Δεν του επιτρέψαμε। Οι μαθητές της τάξης διαμαρτυρήθηκαν: είναι άδικο κύριε, είπαν। Ο δεύετρος μαθητής ήρθε ένα λεπτό μετά τον προηγούμενο। Για ένα λεπτό;...
Πήραμε το συμβάν ως αφορμή για να συζητήσουμε το πρόβλημα της αργής εξέλιξης στα μαθηματικά।
Θέσαμε αρχικά ένα πρόβλημα δικαιοσύνης। Αν οι 30 μαθητές έρχονταν ένας ένας από τις 8.15 ανά ένα λεπτό αργότερα είχαμε δυο επιλογές:
1. Δεν δεχόμαστε κανέναν από την αρχή εφαρμόζοντας τυπικά τον κανονισμό και δεν υπήρχε πρόβλημα।
2. Δεχόμαστε τον πρώτο 8.15, οπότε ο κάθε επόμενος θα έπρεπε να γίνει δεκτός στο μάθημα αφού καθυστέρησε μόνο ένα λεπτό από τον προηγούμενο που δεχθήκαμε. Έτσι ο τελευταίος θα έμπαινε στην τάξη στις 8.45, δηλαδή 10 λεπτά πριν βγούνε για διάλλειμα.
Οι μαθητές ξαφνιάστηκαν.
Παράδειγμα δεύτερο. Το 2 μπορεί να θεωρηθεί "μεγάλος αριθμός"; τους ρωτήσαμε. Η απάντηση ήταν όχι. Τώρα λοιπόν, τους είπαμε, προσθέτουμε μια μονάδα στον αριθμό αυτόν, θα γίνει αυτός τώρα "μεγάλος αριθμός"; Η απάντηση ήταν όχι. Άρα λοιπόν αν προσθέτουμε μια μονάδα σε έναν "μικρό" αριθμό αυτός θα παραμένει "μικρός". Έτσι, λοιπόν, προσθέτωντας μια μονάδα σε έναν "μικρό" συνεχώς, αυτός θα παραμένει "μικρός". Άτοπο, γιατί μετά από πολλές αυξήσεις θα γίνει μεγάλος.
Παράδειγμα τρίτο. Το παράδοξο του καραφλού. Σε έναν που έχει μαλιά και δεν είναι καραφλός αν του βγάλουμε μια τρίχα θα γίνει καραφλός; Η απάντηση είναι σαφώς όχι. Άρα αφαιρώντας από κάποιον μια τρίχα αυτός δεν γίνεται καραφλός. Επαναλαμβάνουμε συνεχώς το πείραμα στον μη καραφλό και φυσικά μετά την αφαίρεση μιας τρίχας αυτός δεν μπορεί να γίνει καραφλός. Άτοπο, γιατί μετά από πολλές επαναλήψεις ... δεν θα έχει τρίχα στο κεφάλι.
Παράδειγμα τέταρτο. Το παράδοξο του σωρού. Ένα φορτηγό ξεφορτώνει από την γεμάτη καρότσα του τα χαλίκια που κουβαλούσε. Λέμε τότε ότι σχηματίστηκε ένας σωρός χαλίκια. Το ερώτημα τώρα είναι: Αν πάρουμε ένα χαλίκι από το σωρό αυτός θα εξακολουθήσει να είναι σωρός; Βέβαια είναι η απάντηση. Στον νέο σωρό επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία. Και ξανά φυσικά με την προηγούμενη λογική είναι σωρός. Αν τώρα το κάνουμε πάρα πολλές φορές αυτό θα τελειώσουν τα χαλίκια.
Σε όλες τις περιπτώσεις οι παραπάνω ιδιότητες δεν αλλάζουν απότομα, αλλά αργά και σταδιακά. Τα δυο τελευταία παραδείγματα χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά για να καταλάβουμε τις σταδιακές μεταβολές κάποιων ιδιοτήτων.